Schmidt-Zerlegung

In d​er linearen Algebra bezeichnet d​ie Schmidt-Zerlegung (die n​ach Erhard Schmidt benannt ist) e​ine bestimmte Darstellung e​ines Vektors i​m Tensorprodukt v​on zwei Vektorräumen m​it Skalarprodukt a​ls Summe v​on wenigen paarweise orthonormalen Produktvektoren. Die Schmidt-Zerlegung findet z​um Beispiel i​n der Quanteninformatik Anwendung.

Aussage

Seien ${\displaystyle H_{1}}$ und ${\displaystyle H_{2}}$ Hilberträume der Dimension ${\displaystyle n}$ beziehungsweise ${\displaystyle m}$ und sei ${\displaystyle n\geq m}$. Dann gibt es für jeden Vektor ${\displaystyle v\in H_{1}\otimes H_{2}}$ Mengen von paarweise orthonormalen Vektoren ${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{m}\}\subset H_{1}}$ und ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{m}\}\subset H_{2}}$, so dass

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i}}$

gilt, wobei die nicht-negativen Zahlen ${\displaystyle \alpha _{1}\geq \alpha _{2}\geq ...\geq \alpha _{m}\geq 0}$ durch ${\displaystyle v}$ eindeutig bestimmt sind.

Beweis

Die Schmidt-Zerlegung ist im Wesentlichen eine Konsequenz der Singulärwert-Zerlegung. Fixiere Orthonormalbasen ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}\subset H_{1}}$ und ${\displaystyle \{f_{1},\ldots ,f_{m}\}\subset H_{2}}$. Der Elementartensor ${\displaystyle e_{i}\otimes f_{j}}$ kann mit der Matrix ${\displaystyle e_{i}f_{j}^{T}}$ (hier bezeichnet ${\displaystyle f_{j}^{T}}$ die Transposition von ${\displaystyle f_{j}}$) identifiziert werden. Ein beliebiger Vektor ${\displaystyle v}$ lässt sich in der Basis ${\displaystyle e_{i}\otimes f_{j}}$ schreiben als

${\displaystyle v=\sum _{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}\beta _{ij}e_{i}\otimes f_{j}}$

und kann dann mit der ${\displaystyle n\times m}$ Matrix

${\displaystyle \;M_{v}=(\beta _{ij})}$

identifiziert werden. Nach der Singulärwertzerlegung gibt es unitäre Matrizen ${\displaystyle U}$ auf ${\displaystyle H_{1}}$ und ${\displaystyle V}$ auf ${\displaystyle H_{2}}$ und eine positiv-semidefinite ${\displaystyle m\times m}$ Diagonalmatrix ${\displaystyle \Sigma }$ so dass

${\displaystyle M_{v}=U{\begin{bmatrix}\Sigma \\0\end{bmatrix}}V^{T}.}$

Schreibt man ${\displaystyle U={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}\end{bmatrix}}}$, wobei ${\displaystyle U_{1}}$ eine ${\displaystyle n\times m}$-Matrix ist, dann erhält man

${\displaystyle \;M_{v}=U_{1}\Sigma V^{T}.}$

Bezeichnet man nun die ersten ${\displaystyle m}$ Spaltenvektoren von ${\displaystyle U_{1}}$ mit ${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{m}\}}$ und mit ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{m}\}}$ die Spaltenvektoren von V und die Diagonalelemente der Matrix ${\displaystyle \Sigma }$ mit ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m}}$ dann folgt

${\displaystyle M_{v}=U_{1}\Sigma V^{T}=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}u_{i}v_{i}^{T}=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i}}$,

was d​ie Behauptung beweist.

Verwendung in der Physik

Die Schmidt-Zerlegung findet z. B. i​n der Quantenphysik Anwendung.

Spektrum reduzierter Zustände

Betrachte e​inen Vektor i​n der Schmidt-Form

${\displaystyle w=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i}.}$

Die Matrix ${\displaystyle \rho =ww^{*}}$ (${\displaystyle w^{*}}$ bezeichnet den zu ${\displaystyle w}$ adjungierten Vektor) ist ein eindimensionaler Projektor auf ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$. Die partielle Spur von ${\displaystyle \rho }$ bezüglich entweder dem Teilsystem ${\displaystyle H_{1}}$ oder ${\displaystyle H_{2}}$ ist dann durch eine Diagonalmatrix gegeben, deren nicht-verschwindende Einträge ${\displaystyle |\alpha _{i}|^{2}}$ sind. Anders ausgedrückt zeigt die Schmidt-Zerlegung, dass das Spektrum der beiden partiellen Spuren ${\displaystyle {\text{tr}}_{1}(\rho )}$ und ${\displaystyle {\text{tr}}_{2}(\rho )}$ gleich ist.

In der Quantenmechanik beschreibt ${\displaystyle \rho }$ (wie jeder eindimensionale Projektor auf ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$) den reinen Zustand eines aus zwei Teilen zusammengesetzten Systems und ${\displaystyle \rho _{2}:={\text{tr}}_{1}(\rho )}$ bzw. ${\displaystyle \rho _{1}:={\text{tr}}_{2}(\rho )}$ beschreibt den reduzierten Zustand im Teilsystem 2 bzw. 1. Das Spektrum des reduzierten Zustands bestimmt unter anderem dessen Von-Neumann-Entropie sowie verschiedene Verschränkungsmaße des reinen Zustands ${\displaystyle \rho }$.[1]

Schmidt-Rang und Verschränkung

Für einen Vektor ${\displaystyle w\in H_{1}\otimes H_{2}}$ werden die strikt positiven Werte ${\displaystyle \alpha _{i}>0}$ in seiner Schmidt-Zerlegung als seine Schmidt-Koeffizienten bezeichnet. Die Anzahl von Schmidt-Koeffizienten heißt Schmidt-Rang von ${\displaystyle w}$.

Die folgenden Aussagen s​ind äquivalent:

• der Schmidt-Rang von ${\displaystyle w}$ ist größer als eins
• ${\displaystyle w}$ lässt sich nicht als Produktvektor ${\displaystyle u\otimes v}$ schreiben
• ${\displaystyle w}$ ist verschränkt
• die reduzierten Zustände von ${\displaystyle w}$ sind nicht rein

Aus den Schmidt-Koeffizienten eines reinen Zustands ${\displaystyle w}$ lassen sich alle seine Verschränkungseigenschaften bestimmen[1]. Auch das Verhalten von ${\displaystyle w}$ unter lokalen Quantenoperationen ist durch die Schmidt-Koeffizienten festgelegt, insbesondere, ob sich zwei Zustände lokal ineinander transformieren lassen.[2]

Literatur

• Erhard Schmidt: Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Mathematische Annalen 63, 433–476 (1907).
• Asher Peres: Quantum Theory: Concepts and Methods, Kluwer (Dordrecht, 1993), Kapitel 5.
• Artur Ekert und Peter L. Knight: Entangled quantum systems and the Schmidt decomposition. In: American Journal of Physics. 63, Nr. 5, Mai 1995, S. 415. doi:10.1119/1.17904.

Einzelnachweise

1. Guifre Vidal: Entanglement Monotones. In: J. Mod. Opt.. 47, 2000, S. 355. arxiv:quant-ph/9807077. doi:10.1080/09500340008244048.
2. M. A. Nielsen: Conditions for a Class of Entanglement Transformations. In: Phys. Rev. Lett.. 83, 1999, S. 436. arxiv:quant-ph/9811053. doi:10.1103/PhysRevLett.83.436.