Schiefpolynom

Schiefpolynome s​ind eine Klasse v​on mathematischen Objekten. Sie s​ind eine Verallgemeinerung d​er gewöhnlichen Polynome m​it einer i​m Allgemeinen n​icht kommutativen Multiplikation. Schiefpolynome werden z​ur algebraischen Modellierung v​on Differentialgleichungen u​nd Differenzengleichungen eingesetzt.

Geschichte

Schiefpolynome wurden erstmals v​on dem norwegischen Mathematiker Øystein Ore betrachtet, d​er sich v​or allem m​it Fragen i​hrer Faktorisierung beschäftigt h​at [1]. Aus diesem Grund werden s​ie von einigen Autoren a​uch als Ore-Polynome bezeichnet.

Definitionen und Sätze

Definition

Für einen Ring ${\displaystyle R}$ und einen Endomorphismus ${\displaystyle \sigma }$ von ${\displaystyle R}$ ist eine ${\displaystyle \sigma }$-Derivation ${\displaystyle \theta }$ definiert als eine Abbildung von ${\displaystyle R}$ in sich selbst mit den Eigenschaften

${\displaystyle \theta (a+b)=\theta (a)+\theta (b)\quad {\text{und}}\quad \theta (a\cdot b)=\sigma (a)\cdot \theta (b)+\theta (a)\cdot b}$

für alle ${\displaystyle a,b\in R}$. Ein Beispiel hierfür sind die unendlich oft differenzierbaren Funktionen ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ auf den reellen Zahlen mit der Identität als Endomorphismus und der gewöhnlichen Ableitung ${\displaystyle d/dx}$.

Der Ring der Schiefpolynome ${\displaystyle R[\partial$ ;\sigma ,\theta ]} in der Unbekannten ${\displaystyle \partial }$ ist die Menge der formalen Ausdrücke

${\displaystyle p=a_{n}\partial ^{n}+a_{n-1}\partial ^{n-1}+\cdots +a_{1}\partial +a_{0},}$

mit Koeffizienten in ${\displaystyle R}$. Ist ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$, so ist ${\displaystyle n}$ der Grad von ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (\operatorname {grad} p)}$, welcher auch als Ordnung bezeichnet wird.

Die Addition w​ird wie b​ei normalen Polynomen gehandhabt. Die Multiplikation w​ird durch d​ie Gleichung

${\displaystyle \partial \cdot a=\sigma (a)\cdot \partial +\theta (a)}$

festgelegt. Indem m​an verlangt, d​ass Assoziativgesetz u​nd Distributivgesetz gelten sollen, k​ann man s​o beliebige Schiefpolynome miteinander multiplizieren.

Diese Multiplikation simuliert das Hintereinanderschalten von Differentialoperatoren. Bezeichnen wir im obigen Beispiel für ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ die Multiplikation von Links mit ${\displaystyle f}$ auch einfach wieder mit ${\displaystyle f}$, so gilt für ein beliebiges ${\displaystyle g\in C^{\infty }(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\circ f\right)(g)={\frac {d}{dx}}(f\cdot g)={\frac {df}{dx}}\cdot g+f\cdot {\frac {dg}{dx}}=\left({\frac {df}{dx}}+f\circ {\frac {d}{dx}}\right)(g),}$

wobei ${\displaystyle {\tfrac {df}{dx}}}$ entsprechend die Multiplikation mit der Ableitung von ${\displaystyle f}$ bezeichnet.

Eine formale Definition (und einen Existenzbeweis) für Schiefpolynome gewinnt man mit Hilfe des Ringes der Gruppenendomorphismen des ${\displaystyle R}$-Moduls

${\displaystyle R^{(\mathbb {N} )}=\left\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mid a_{n}=0{\text{ für fast alle }}n\in \mathbb {N} \right\}.}$

Nun bettet man ${\displaystyle R}$ ähnlich wie im Beispiel mittels des Monomorphismus ${\displaystyle R\ni a\mapsto (x\mapsto a\cdot x)\in \mathrm {End} (R^{(\mathbb {N} )})}$ in den Ring der Gruppenmorphismen ${\displaystyle \mathrm {End} (R^{(\mathbb {N} )})}$ ein. Der Schiefpolynomring entspricht dann dem von ${\displaystyle R}$ und dem Endormorphismus

${\displaystyle \delta =(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mapsto {\bigl (}\,\sigma (a_{n})+\theta (a_{n-1})\,{\bigr )}_{n\in \mathbb {N} }\quad ({\text{wobei }}a_{-1}:=0)}$

erzeugten Unterring von ${\displaystyle \mathrm {End} (R^{(\mathbb {N} )})}$. Genauere Erläuterungen hierzu finden sich in Kapitel 0.10 in [2].

Beispiele

• Gewöhnliche Polynome erhält man durch ${\displaystyle \sigma =\mathrm {id} }$ (Identität) und ${\displaystyle \theta =0}$.
• Bei ${\displaystyle \sigma =\mathrm {id} }$ spricht man von Differentialoperatoren. Zum Beispiel sind ${\displaystyle C^{\infty }[\partial$ ;\mathrm {id} ,d/dx]} die Differentialoperatoren mit unendlich oft differenzierbaren Koeffizienten.
• Der Ring der Schiebeoperatoren ${\displaystyle (\mathbb {Z} [t])[\partial$ ;\sigma ,0]} mit ${\displaystyle \sigma (f(t))=f(t+1)}$ über Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten

Eigenschaften

Wenn ${\displaystyle R}$ nullteilerfrei ist und ${\displaystyle \sigma }$ injektiv, dann gilt

${\displaystyle \operatorname {grad} (ab)=\operatorname {grad} a+\operatorname {grad} b}$

für alle ${\displaystyle a,b\in R[\partial$ ;\sigma ,\theta ]} . Insbesondere ist ${\displaystyle R[\partial$ ;\sigma ,\theta ]} also ebenfalls nullteilerfrei.

Sind der Grundring ${\displaystyle R}$ ein Körper und ${\displaystyle \sigma }$ ein Automorphismus, so lassen sich links- und rechtsseitige Division mit Rest definieren. Damit lassen sich dann größte gemeinsame Rechtsteiler und größte gemeinsame Linksteiler mittels einer Variante des Euklidischen Algorithmus berechnen [3].

Weblinks

• An introduction to pseudo-linear algebra
• OreTools (Schiefpolynome in Maple)

Quellen

1. Öystein Ore [sic]: Formale Theorie der linearen Differentialgleichungen. (Erster Teil). In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Bd. 167, 1932, S. 221–234, doi:10.1515/crll.1932.167.221.
2. Paul M. Cohn: Free Rings and their relations (= London Mathematical Society Monographs. 19). 2nd edition. London Academic Press, London u. a. 1985, ISBN 0-12-179152-1.
3. Manuel Bronstein, Marko Petkovšek: An introduction to pseudo-linear algebra. In: Theoretical Computer Science. Bd. 157, Nr. 1, 1996, S. 3–33, doi:10.1016/0304-3975(95)00173-5.