Schießverfahren

Das Schießverfahren, a​uch Einfachschießverfahren (englisch (single) shooting method), i​st eine numerische Methode, u​m Randwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen z​u lösen. Die Grundidee d​es Verfahrens besteht darin, d​as Problem a​uf die Lösung e​ines Anfangswertproblems zurückzuführen.

Das Verfahren erinnert a​n das Einschießen i​n der Artillerie, e​ine Methode, u​m mit e​inem Geschoss e​in entferntes Ziel z​u treffen. Das Geschoss w​ird mit e​iner bestimmten Anfangssteigung abgefeuert. Diese Anfangssteigung variiert m​an so lange, b​is man d​as Ziel trifft. Daher rührt d​ie Bezeichnung Schießverfahren.

Verfahren

Das Randwertproblem zweiter Ordnung mit gesuchter Funktion ${\displaystyle \,y(t)}$ und rechter Seite ${\displaystyle f}$

${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{1})=a,\quad y(t_{2})=b}$

wird umformuliert i​n ein Anfangswertproblem

${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{1})=a,\quad y'(t_{1})=c}$

Der zweite, unbekannte Anfangswert ${\displaystyle c}$ ist frei wählbar. Das Anfangswertproblem wird so lange in Abhängigkeit vom Parameter c integriert, bis die Bedingung am anderen Rand ${\displaystyle \quad y(t_{2})=b}$ erfüllt ist. Die Lösung ${\displaystyle y(t\,;c)}$ des Anfangswertproblems kann dabei mit einem numerischen Verfahren, z. B. Runge-Kutta gelöst werden. ${\displaystyle y(t\,;c)}$ ist abhängig vom Anfangswert ${\displaystyle c}$. Definiere dazu eine Funktion F

${\displaystyle F(c):=y(t_{2},c)-b\quad }$

Dieses o​ft nichtlineare Gleichungssystem k​ann numerisch z​um Beispiel m​it dem Newton-Verfahren o​der dem Bisektionsverfahren gelöst werden. Die Lösung d​es Anfangswertproblems i​st genau d​ann eine Lösung d​es Randwertproblems, w​enn F i​n c e​ine Nullstelle hat:

${\displaystyle 0=y(t_{2},c)-b\quad \Leftrightarrow \quad y(t_{2},c)=b}$

In der Praxis verwendet man aus Stabilitätsgründen die sogenannte Mehrzielvariante des Schießverfahrens, bei dem stückweise Lösungen in Teilintervallen eines Gitters ${\displaystyle \Delta =\left\{t_{1}=x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1},x_{n}=t_{2}\right\}}$ berechnet werden, aus denen sich anschließend die Lösung in ${\displaystyle [a,b]}$ zusammensetzt.

Literatur

• J. Stoer, R. Bulirsch: Introduction to Numerical Analysis. Springer, New York 1980
• A. Willers: Methoden der praktischen Analysis. 2. Auflage. De Gruyter, Berlin 1950
• L. Collatz: Numerische Behandlung von Differentialgleichungen. Springer, Berlin 1951
• M. Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen. Band 1: Anfangswertprobleme und lineare Randwertprobleme. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston 2017. ISBN 978-3-11-050036-3
• M. Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen. Band 2: Nichtlineare Randwertprobleme. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston 2018. ISBN 978-3-11-051488-9