Mehrfachschießverfahren

Das Mehrfachschießverfahren (englisch multiple shooting method), a​uch Mehrzielmethode, i​st in d​er Mathematik e​in numerisches Verfahren z​ur Lösung v​on Randwertproblemen b​ei gewöhnlichen Differentialgleichungen. Dabei w​ird das Intervall, a​uf dem d​ie Lösung d​es Randwertproblems bestimmt werden soll, zunächst i​n kleinere Teilintervalle unterteilt, a​uf denen d​ann jeweils e​in Anfangswertproblem gelöst wird. Mit zusätzlichen Stetigkeitsbedingungen w​ird dann e​ine Lösung a​uf dem ganzen Intervall bestimmt. Diese Methode i​st eine wesentliche Weiterentwicklung d​es Einfachschießverfahrens, insbesondere w​as die numerische Stabilität anbelangt.

Problemstellung

Gegeben s​ei ein Randwertproblem d​er Form

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad t\in [a,b],\quad g(y(a),y(b))=0}$,

wobei die rechte Seite ${\displaystyle f\colon [a,b]\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ und die Zweipunkt-Randbedingung ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ vorgegebene stetige Funktionen sind und eine differenzierbare Funktion ${\displaystyle y\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ gesucht wird. Zur Lösung eines solchen Randwertproblems geht das Einfachschießverfahren folgendermaßen vor: Sei ${\displaystyle y_{p}(t)}$ die Lösung des Anfangswertproblems

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad t\in [a,b],\quad y(a)=p}$,

dann wird der freie Parameter ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ so bestimmt, dass die Randbedingung

${\displaystyle g(p,y_{p}(b))=0}$

erfüllt ist. Zur Lösung dieser Vektorgleichung wird meist ein iteratives Verfahren, wie das Newton-Verfahren, verwendet. Bei steifen Anfangswertproblemen können jedoch kleine Änderungen in der Anfangsbedingung ${\displaystyle p}$ zu großen Änderungen in der Lösung ${\displaystyle y_{p}(b)}$ führen, wodurch das Verfahren numerisch instabil wird.

Verfahren

Das Mehrfachschießverfahren verwendet n​un zur Verbesserung d​er Stabilität e​ine Unterteilung

${\displaystyle a=t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{N+1}=b}$.

des Intervalls ${\displaystyle [a,b]}$ in ${\displaystyle N}$ Teilintervalle und berechnet die Lösungen ${\displaystyle y_{k,p_{k}}(t),k=1,\ldots ,N,}$ einer Reihe von Anfangswertproblemen

${\displaystyle {\begin{aligned}y'(t)&=f(t,y(t)),\quad t\in [t_{1},t_{2}],\quad y(t_{1})=p_{1}\\y'(t)&=f(t,y(t)),\quad t\in [t_{2},t_{3}],\quad y(t_{2})=p_{2}\\&\,\,\,\vdots \\y'(t)&=f(t,y(t)),\quad t\in [t_{N},t_{N+1}],\quad y(t_{N})=p_{N}\end{aligned}}}$

in diesen Teilintervallen. Dabei werden die freien Parameter ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{N}\in \mathbb {R} ^{n}}$ so bestimmt, dass die Stetigkeitsbedingungen

${\displaystyle y_{k,p_{k}}(t_{k+1})=p_{k+1}~{\text{für}}~k=1,\ldots ,N-1}$

und d​ie Randbedingung

${\displaystyle g(p_{1},y_{N,p_{N}}(t_{N+1}))=0}$

erfüllt sind. Damit ist die zusammengesetzte Funktion ${\displaystyle y\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ definiert durch

${\displaystyle y(t)=y_{k,p_{k}}(t)~{\text{für}}~t\in [t_{k},t_{k+1}]}$

nicht nur stetig, sondern auch differenzierbar, und somit eine Lösung des Ausgangsproblems. Zur Bestimmung der Parameter ${\displaystyle p_{k}}$ ist ein nichtlineares vektorielles Gleichungssystem mit ${\displaystyle N}$ Gleichungen und Unbekannten zu lösen, was wiederum mit einem iterativen Verfahren erfolgt.

Literatur

• Josef Stoer, Roland Bulirsch: Numerische Mathematik 2. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2005, ISBN 3-540-23777-1, Kapitel 7.3.5 ff.
• Hans Georg Bock, Karl J. Plitt: A multiple shooting algorithm for direct solution of optimal control problems. In: Proceedings of the 9th IFAC World Congress. Budapest 1984.
• Morrison, David D. and Riley, James D. and Zancanaro, John F.: Multiple shooting method for two-point boundary value problems. In: Commun. ACM. Band 5, Nr. 12. ACM, New York, NY, USA Dezember 1962, S. 613–614.