Satz von van Schooten

Der Satz v​on van Schooten, benannt n​ach dem niederländischen Mathematiker Frans v​an Schooten, i​st ein Lehrsatz d​er Dreiecksgeometrie, welcher Folgendes aussagt:[1][2]

${\displaystyle |{\overline {PA}}|=|{\overline {PB}}|+|{\overline {PC}}|}$

Gegeben sei ein gleichseitiges Dreieck ${\displaystyle \Delta }$ der euklidischen Ebene mit den drei Eckpunkten ${\displaystyle A,\,B,\,C}$ und ein Punkt ${\displaystyle P}$ des Umkreises von ${\displaystyle \Delta }$.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei ${\displaystyle |{\overline {PA}}|}$ die größte der drei Streckenlängen ${\displaystyle |{\overline {PA}}|,\,|{\overline {PB}}|,\,|{\overline {PC}}|}$, d. h. ${\displaystyle P}$ liegt auf dem Kreisbogen, der ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$ verbindet.

Dann gilt ${\displaystyle |{\overline {PA}}|=|{\overline {PB}}|+|{\overline {PC}}|}$.

Der Satz ist eine einfache Folgerung aus dem Satz von Ptolemäus, nach dem in einem Sehnenviereck das Produkt der Längen der Diagonalen gleich der Summe der Produkte der Längen gegenüberliegender Seiten ist. Wendet man dies auf das Sehnenviereck ${\displaystyle ABPC}$ in nebenstehender Skizze an, so erhält man

${\displaystyle {\overline {PA}}\cdot {\overline {BC}}={\overline {PC}}\cdot {\overline {AB}}+{\overline {PB}}\cdot {\overline {AC}}}$

Da das Dreieck aber gleichseitig ist, gilt ${\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {AC}}={\overline {BC}}=:a}$ und man erhält

${\displaystyle {\overline {PA}}\cdot a={\overline {PC}}\cdot a+{\overline {PB}}\cdot a}$

Dividiert man diese Gleichung durch die Seitenlänge ${\displaystyle a}$, so erhält man die Behauptung des Satzes von van Schooten.

Literatur

• Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.): Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete. Band 4 - S bis Z. Aulis Verlag, Köln 1978, ISBN 3-7614-0242-2.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise. Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Springer Verlag, Berlin [u. a.] 2013, ISBN 978-3-642-34792-4.
• Jozsef Sandor: On the Geometry of Equilateral Triangles. Forum Geometricorum, Band 5 (2005), S. 107–117

Weblinks

• Satz von van Schooten (engl.) auf cut-the-knot.org

Einzelnachweise

1. Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.): Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete. Band 4 - S bis Z. Band 4. Aulis Verlag, Köln 1978, ISBN 3-7614-0242-2, S. 933.
2. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise. Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Springer Verlag, Berlin [u. a.] 2013, ISBN 978-3-642-34792-4, S. 118 ff.