Satz von Synge-Weinstein

Der Satz v​on Synge-Weinstein i​st ein Lehrsatz a​us dem mathematischen Gebiet d​er Differentialgeometrie. Er i​st das gruppentheoretisch formulierte Äquivalent z​um Satz v​on Synge. Der Satz i​st nach John Lighton Synge u​nd Alan Weinstein benannt.

Satz von Synge-Weinstein

Es sei eine orientierte Mannigfaltigkeit, die eine riemannsche Metrik positiver Schnittkrümmung für eine Konstante trägt. (Diese Bedingung ist insbesondere immer erfüllt, wenn kompakt und die Schnittkrümmung ist.) Dann gilt:

  • wenn die Dimension von eine gerade Zahl ist, dann hat jede orientierungserhaltende Isometrie einen Fixpunkt,
  • wenn die Dimension von eine ungerade Zahl ist, dann hat jede orientierungsumkehrende Isometrie einen Fixpunkt.

Aus dem ersten Fall folgt insbesondere der Satz von Synge, also dass eine orientierbare, gerade-dimensionale, kompakte riemannsche Mannigfaltigkeit positiver Schnittkrümmung einfach zusammenhängend sein muss. Anderenfalls hätte nämlich die universelle Überlagerung eine fixpunktfreie Wirkung der nicht-trivialen Fundamentalgruppe durch Isometrien der zurückgezogenen (positiv gekrümmten) riemannschen Metrik auf .

In ungeraden Dimensionen g​ibt es orientierungserhaltende, fixpunktfreie Wirkungen endlicher Gruppen a​uf positiv gekrümmten Mannigfaltigkeiten, z​um Beispiel wirken a​lle zyklischen Gruppen a​uf allen ungerade-dimensionalen Sphären, a​ls Quotienten erhält m​an die Linsenräume.

Literatur
  • do Carmo, Manfredo Perdigão: Riemannian geometry. Translated from the second Portuguese edition by Francis Flaherty. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992, ISBN 0-8176-3490-8.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. The authors of the article are listed here. Additional terms may apply for the media files, click on images to show image meta data.