Satz von Skolem-Noether

In d​er Ringtheorie charakterisiert d​er Satz v​on Skolem-Noether d​ie Automorphismen einfacher Ringe. Er i​st ein grundlegendes Resultat i​n der Theorie d​er zentralen einfachen Algebren.

Das Theorem w​urde zuerst v​on Thoralf Skolem i​m Jahre 1927 i​n seiner Arbeit Zur Theorie d​er assoziativen Zahlensysteme veröffentlicht u​nd später v​on Emmy Noether wiederentdeckt.

Behauptung

Seien ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ einfache Ringe und ${\displaystyle k}$ das Zentrum von ${\displaystyle B}$. Man beachte, dass ${\displaystyle k}$ ein Körper ist. Weiter wird angenommen, dass die Dimension von ${\displaystyle B}$ über ${\displaystyle k}$ endlich ist und dass ${\displaystyle A}$ eine ${\displaystyle k}$-Algebra ist.

Sei also ${\displaystyle B}$ eine zentrale einfache endlichdimensionale Algebra, auch Azumaya-Algebra genannt. Außerdem gebe es ${\displaystyle k}$-Algebrenhomomorphismen ${\displaystyle f,g\colon A\rightarrow B}$.

Dann existiert eine Einheit ${\displaystyle b\in B}$, sodass:[1][2]

${\displaystyle \forall a\in A\colon g(a)=bf(a)b^{-1}}$

Insbesondere ist jeder Automorphismus einer zentralen einfachen ${\displaystyle k}$-Algebra ein innerer Automorphismus.[3][4]

Beweis

Sei ${\displaystyle B=M_{n}(k)=End_{k}(k^{n})}$. Dann definieren ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ Aktionen von ${\displaystyle A}$ auf ${\displaystyle k^{n}}$. ${\displaystyle V_{f},V_{g}}$ bezeichnen die hieraus erhaltenen ${\displaystyle A}$-Moduln. Zwei beliebige einfache ${\displaystyle A}$-Moduln sind isomorph und ${\displaystyle V_{f},V_{g}}$ sind direkte Summen von einfachen ${\displaystyle A}$-Moduln. Da diese dieselbe Dimension haben, folgt, dass es einen Isomorphismus ${\displaystyle b\colon V_{g}\rightarrow V_{f}}$ von ${\displaystyle A}$-Moduln gibt. Aber so ein ${\displaystyle b}$ muss in ${\displaystyle M_{n}(k)=B}$ liegen. Für den allgemeinen Fall gilt, dass ${\displaystyle B\otimes B^{op}}$ eine Matrixalgebra ist und daher mit dem ersten Teil diese Algebra ein Element ${\displaystyle b}$ beinhaltet, sodass:

${\displaystyle \forall a\in A,~\forall z\in B^{op}\colon (f\otimes 1)(a\otimes z)=b(g\otimes 1)(a\otimes z)b^{-1}}$

Mit ${\displaystyle a=1}$ erhalten wir

${\displaystyle \forall z\in B^{op}\colon 1\otimes z=b(1\otimes z)b^{-1}}$.

Es gilt ${\displaystyle b\in Z_{B\otimes B^{op}}(k\otimes B^{op})=B\otimes k}$, wobei ${\displaystyle Z}$ den Zentralisator bezeichne, also können wir ${\displaystyle b=b'\otimes 1}$ schreiben. Mit ${\displaystyle z=1}$ ergibt sich

${\displaystyle f(a)=b'g(a)b'^{-1}}$,

was z​u zeigen war.

Literatur

• Thoralf Skolem: Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme. In: Skrifter utgitt av Det Norske Videnskaps-Akademi i Oslo, No. 12.. 1927, S. 50.
• Diskussion in Kapitel IV von James Milne: Class field theory. Online.
• Philippe Gille, Tamás Szamuely: Central simple algebras and Galois cohomology (=  Cambridge Studies in Advanced Mathematics), Band 101. Cambridge University Press, Cambridge 2006, ISBN 0-521-86103-9.
• Falko Lorenz: Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics. Springer, 2008, ISBN 978-0-387-72487-4.
• Ina Kersten: Brauergruppen. Universitätsdrucke Göttingen, Göttingen 2007, S. 38, PDF (abgerufen am 18. Juli 2016).

Einzelnachweise

1. Lorenz (2008) S. 173
2. Benson Farb, R. Keith Dennis: Noncommutative Algebra. Springer, 1993, ISBN 9780387940571.
3. Gille & Szamuely (2006), S. 40.
4. Lorenz (2008), S. 174.