Satz von Ryll-Nardzewski
Der Satz von Ryll-Nardzewski ist ein Satz aus der Modelltheorie, einem mathematischen Teilgebiet der Logik. Er charakterisiert -kategorische Theorien. Benannt ist er nach dem polnischen Mathematiker Czesław Ryll-Nardzewski.
Satz von Ryll-Nardzewski
Sei eine vollständige Theorie über einer abzählbaren Sprache. Mit wird der Raum der vollständigen -Typen bezeichnet.
Dann ist äquivalent:
- ist -kategorisch.
- ist für alle endlich.
- Bis auf -Äquivalenz gibt es für jedes nur endlich viele Formeln
Weitere Äquivalenzen
Unter den gleichen Voraussetzungen wie beim Satz von Ryll-Nardzewski gilt, dass äquivalent ist:
- ist -kategorisch.
- Jedes abzählbare Modell von ist saturiert.
Beispiele
Dichte Lineare Ordnung ohne Endpunkte
Sei ein Modell der Theorie der dichten linearen Ordnung ohne Endpunkte und
und ohne Beschränkung der Allgemeinheit
Ein vollständiger Typ über wird entweder von einer Formel der Form:
oder der Form
erzeugt. Das lässt sich durch Quantorenelimination beweisen.
Die Menge der Typen ist endlich, die Theorie ist also -kategorisch.
Theorie mit unendliche vielen Konstantensymbolen
Die Theorie über der Sprache mit den Axiomen hat abzählbar viele vollständige 1-Typen: Die von der Formel erzeugten Typen sind die isolierten Typen, der von der Menge erzeugte Typ ist der einzige nicht-isolierte Typ. Die Theorie ist daher nicht -kategorisch. (Sie ist aber -kategorisch.)
Weblinks
- Martin Ziegler: Skript Modelltheorie 1. (PDF; 649 kB)
Literatur
- Wilfrid Hodges: Model theory. Cambridge University Press, 1993, ISBN 0-521-30442-3.
- Chang, Chen C., Keisler, H.Jerome: Model theory. Third edition. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. ISBN 0-444-88054-2
- Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie. Spektrum Akademischer Verlag, 1995, ISBN 978-3-86025-461-5.