Satz von Poincaré-Bohl

Der Satz v​on Poincaré-Bohl, englisch Poincaré-Bohl theorem, i​st ein Lehrsatz a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Topologie, welcher d​en beiden Mathematikern Henri Poincaré u​nd Piers Bohl zugerechnet wird. Der Satz stellt e​ine grundlegende Eigenschaft d​es brouwerschen Abbildungsgrades für stetige Vektorfelder i​m reellen Koordinatenraum dar. Diese Eigenschaft w​ird auch a​ls lineare Homotopie bezeichnet u​nd ergibt s​ich direkt a​us der Homotopieinvarianz d​es Abbildungsgrades.[1][2][3][4]

Formulierung des Satzes

Gemäß d​er Darstellung b​ei Alexandroff-Hopf s​owie Ortega-Rheinboldt lässt s​ich der Satz angeben w​ie folgt:[1][2]

Gegeben seien eine offene und beschränkte Menge ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ und dazu zwei stetige Abbildungen

${\displaystyle F,G\colon {\overline {\Omega }}\to \mathbb {R} ^{n}}$  .[5]

Hierzu sei

${\displaystyle \gamma =\partial {\Omega }}$

die zugehörige Menge der Randpunkte sowie

${\displaystyle U:=\bigcup _{x\in \gamma }[F(x)\;,\;G(x)]}$

die Menge aller Punkte, welche auf den Verbindungsstrecken zwischen den ${\displaystyle F}$- und ${\displaystyle G}$-Bildpunkten der jeweiligen Randpunkte liegen.

Dann gilt:

Für jeden außerhalb liegenden Punkt, also für jeden Punkt ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}\setminus U}$, stimmen die brouwerschen Abbildungsgrade von ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ überein:

${\displaystyle d(F,\Omega ,y)=d(G,\Omega ,y)}$  .

Literatur

• P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 45). Erster Band (Reprint). Chelsea Publishing Company, New York 1965 (MR0185557).
• P. Bohl: Über die Bewegung eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 127, 1904, S. 179–276 (MR1580639).
• Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264).
• James M. Ortega, W. C. Rheinboldt: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. (Unabridged republication of the work first published by Academic Press, New York and London, 1970) (= Classics in Applied Mathematics. Band 30). Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia 2000, ISBN 0-89871-461-3 (MR1744713).
• H. Poincaré: Sur les courbes définies par les équations différentielles IV. In: Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Band 2, 1886, S. 151–217.
• Eberhard Zeidler: Nonlinear Functional Analysis and its Applications. I. Fixed-Point Theorems. Springer Verlag, New York (u. a.) 1986 (MR0816732).

Einzelnachweise und Fußnoten

1. P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie I. 1965, S. 459
2. J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables 2000, S. 157
3. Eberhard Zeidler: Nonlinear Functional Analysis and its Applications I. 1986, S. 570 ff
4. Aus der Darstellung in der Einführung in die Kombinatorische Topologie von Egbert Harzheim ist zu entnehmen, dass aus dem Satz von Poincaré-Bohl durch elementare Schlüsse sogar direkt der berühmte Satz von Poincaré-Brouwer gefolgert werden kann (b:Beweisarchiv: Topologie: Der Satz von Poincaré-Bohl impliziert den Satz von Poincaré-Brouwer).
5. ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ist die abgeschlossene Hülle von ${\displaystyle \Omega }$  .