Satz von Motzkin

Der Satz v​on Motzkin i​st ein mathematischer Lehrsatz, d​er auf e​ine Arbeit d​es Mathematikers Theodore Samuel Motzkin a​us dem Jahr 1935 zurückgeht. Er behandelt d​ie Frage d​er Charakterisierung konvexer Teilmengen d​es euklidischen Raums u​nd ist angesiedelt i​m Übergangsfeld zwischen Analysis, Geometrie u​nd der Theorie d​er topologischen Vektorräume.[1][2][3][4]

Formulierung des Satzes

Der Monographie v​on Jürg T. Marti folgend lässt s​ich der Satz w​ie folgt formulieren:[5]

Im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ ist eine motzkinsche Menge stets konvex.

Verallgemeinerung

Im Jahre 1951 erhielten Frederick Arthur Ficken[6] u​nd Victor LaRue Klee i​n Verallgemeinerung d​es Motzkin’schen Satzes d​en folgenden Charakterisierungssatz für konvexe Mengen i​n reellen Hilberträumen:[7][8]

Jede beschränkt kompakte motzkinsche Menge in einem reellen Hilbertraum ist konvex.

Erläuterungen und Anmerkungen

• Ist ${\displaystyle X}$ ein metrischer Raum mit der zugehörigen Abstandsfunktion ${\displaystyle d}$, so bezeichnet man eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge ${\displaystyle T\subseteq X}$ als motzkinsche Menge, falls es zu jedem Raumpunkt ${\displaystyle x_{0}\in X}$ genau einen Raumpunkt ${\displaystyle x_{1}\in T}$ gibt, der nach Maßgabe der Abstandsfunktion ${\displaystyle d}$ dem Raumpunkt ${\displaystyle x_{0}}$ am nächsten liegt. Manche Autoren nennen eine solche Menge auch eine tschebyschewsche Menge.[9][10]
• In einem metrischen Raum ${\displaystyle X}$ mit der Abstandsfunktion ${\displaystyle d}$ ist eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge ${\displaystyle T\subseteq X}$ demzufolge eine motzkinsche Menge genau dann, wenn es zu jedem ${\displaystyle x_{0}\in X}$ genau ein ${\displaystyle x_{1}\in T}$ gibt mit ${\displaystyle d(x_{1},x_{0})=\inf _{y\in T}{d(y,x_{0})}}$. Ist ${\displaystyle X}$ dabei sogar ein normierter Vektorraum mit ${\displaystyle \|\cdot \|}$ als Norm und der durch ${\displaystyle (x,y)\mapsto d(x,y)=\|x-y\|}$ gegebenen Abstandsfunktion, so ist hier eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge ${\displaystyle T\subseteq X}$ eine motzkinsche Menge genau dann, wenn es zu jedem ${\displaystyle x_{0}\in X}$ genau ein ${\displaystyle x_{1}\in T}$ gibt mit ${\displaystyle \|x_{1}-x_{0}\|=\inf _{y\in T}{\|y-x_{0}\|}}$.[11]
• Der euklidische Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ wird stets als mit dem Standardskalarprodukt und der damit gegebenen geometrischen und metrischen Struktur versehen betrachtet.
• In einem normierten Vektorraum ${\displaystyle X}$ nennt man – gemäß Marti – eine Teilmenge ${\displaystyle K\subseteq X}$ beschränkt kompakt, wenn für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ die ${\displaystyle X}$-Teilmenge ${\displaystyle \{x\in K\colon \|x\|\leq n\}}$ dort eine kompakte Teilmenge ist.[12]
• In einem strikt konvexen normierten Raum ist jede nichtleere kompakte konvexe Teilmenge eine motzkinsche Menge.[12]
• In einem strikt konvexen reflexiven Banachraum – und folglich auch in jedem Hilbertraum – ist jede nichtleere abgeschlossene konvexe Teilmenge eine motzkinsche Menge.[12]
• Der Satz von Motzkin lässt sich aus dem Auswahlsatz von Blaschke gewinnen.[13]
• In seinem Lehrbuch Konvexe Mengen bewertet Kurt Leichtweiß den Satz von Motzkin – wenngleich er ihn nicht ausdrücklich unter diesem Namen darstellt – als eine bemerkenswerte, von T. S. Motzkin stammende Charakterisierung der Konvexität bei abgeschlossenen Untermengen des euklidischen Raumes.[14]

Literatur

• Victor Klee: Convexity of Chevyshev sets. In: Mathematische Annalen. Band 142, 1961, S. 292–304 (MR0121633).
• Steven R. Lay: Convex Sets and Their Applications (= Pure and Applied Mathematics). John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore 1982, ISBN 0-471-09584-2 (MR0655598).
• Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen (= Hochschultext). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1980, ISBN 3-540-09071-1 (MR0586235).
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737).
• T. S. Motzkin: Sur quelques propriétés caractéristiques des ensembles convexes. In: Atti. Reale Accad. Naz. Lincei, Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (Rom), Serie VI. Band 21, 1935, S. 562–567.
• Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen. Übersetzung aus dem Englischen durch E. Heil (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 402/402a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1968 (MR0226495).

Einzelnachweise

1. Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 153–158
2. Steven R. Lay: Convex Sets and Their Applications. 1982, S. 53
3. Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen. 1968, S. 103–107, S. 185
4. Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen. 1980, S. 95–97
5. Marti, op. cit., S. 158
6. F. A. Ficken (13. August 1910–20. Dezember 1978) war ein US-amerikanischer Mathematiker (s. Link) und Herausgeber der American Mathematical Monthly im Zeitraum 1962-1966.
7. Marti, op. cit., S. 156
8. Dieser Charakterisierungssatz und seine Herleitung sind, wie Victor Klee in seiner Publikation von 1961 ausdrücklich festhält, im Wesentlichen F. A. Ficken zuzurechnen. In Martis Monographie (s. S. 156 und S. 271) wird der Satz als Satz von Ficken-Klee bezeichnet.
9. Valentine, op. cit., S. 185
10. Marti, op. cit., S. 153
11. Lay, op. cit., S. 112
12. Marti, op. cit., S. 154
13. Marti, op. cit., S. 158
14. Leichtweiß, op. cit., S. 95