Satz von Mazur (Konvexität und Kompaktheit)

Der Satz v​on Mazur z​u Konvexität u​nd Kompaktheit i​st einer v​on mehreren Lehrsätzen, d​ie der polnische Mathematiker Stanisław Mazur z​um mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis beigetragen hat. Der Satz g​eht auf e​ine Arbeit Mazurs a​us dem Jahr 1930 zurück u​nd behandelt e​ine grundlegende Kompaktheitsfrage i​m Zusammenhang m​it konvexen Teilmengen v​on Banachräumen.[1][2] Aus diesem Mazur'schen Satz lässt s​ich der Fixpunktsatz v​on Schauder – i​n der Version für Banachräume – a​ls Folgerung gewinnen.[3]

Formulierung des Satzes

Der Satz besagt folgendes:[4][2]

Gegeben seien ein Banachraum ${\displaystyle X}$ und weiter eine darin gelegene Teilmenge ${\displaystyle T\subseteq X}$ sowie deren abgeschlossene konvexe Hülle ${\displaystyle K={\overline {\operatorname {conv} {T}}}\supseteq T}$.

Dann gilt:

Ist ${\displaystyle T}$ eine kompakte Teilmenge von ${\displaystyle X}$, so ist auch ${\displaystyle K}$ eine solche.

Verallgemeinerung

In d​em Lehrbuch v​on Jürg T. Marti u​nd ebenso i​n dem v​on A. P. Robertson u​nd W. J. Robertson w​ird der Mazur'sche Satz n​och allgemeiner formuliert.[5][6][7] Zusammengefasst lässt s​ich dies w​ie folgt darstellen:

Gegeben seien ein hausdorffscher lokalkonvexer topologischer ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum ${\displaystyle X}$ sowie eine Teilmenge ${\displaystyle T\subseteq X}$.

Dann gilt:

Ist ${\displaystyle T}$ eine präkompakte Teilmenge von ${\displaystyle X}$, so sind auch deren konvexe Hülle ${\displaystyle \operatorname {conv} {T}}$, deren absolutkonvexe Hülle ${\displaystyle \Gamma {T}}$ und deren abgeschlossene absolutkonvexe Hülle ${\displaystyle {\overline {\Gamma {T}}}}$ präkompakte Teilmengen.

Weitere Verschärfung im euklidischen Raum

Im euklidischen Raum g​ilt sogar:[8][9][10]

Für jede beliebige kompakte Teilmenge ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ ist die konvexe Hülle ${\displaystyle \operatorname {conv} {T}}$ (schon selbst) kompakt.

Anmerkungen und Erläuterungen

• Die Präkompaktheit einer Teilmenge ${\displaystyle T\subset X}$ ist hier in Bezug auf die durch die Nullumgebungsbasis von ${\displaystyle X}$ induzierte uniforme Struktur zu verstehen. Eine solche Teilmenge ist demnach genau dann präkompakt, wenn zu jeder Nullumgebung ${\displaystyle W\subseteq X}$ endlich viele Punkte ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}\in X\;(m\in \mathbb {N} )}$ existieren, so dass die Überdeckung ${\displaystyle \bigcup _{j=1}^{m}{\left(x_{j}+W\right)}\supseteq T}$ gegeben ist.[11]
• In jedem metrischen Raum – also auch in jedem Banachraum – ist eine Teilmenge präkompakt genau dann, wenn ihre abgeschlossene Hülle präkompakt ist. Hier ist eine Teilmenge damit relativ kompakt, wenn sie präkompakt und ihre abgeschlossene Hülle vollständig ist.[12] In einem Banachraum ist demnach eine Teilmenge präkompakt dann und nur dann, wenn sie relativ kompakt ist.
• Ist ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} ^{n}}$ beschränkt, so gilt ${\displaystyle \operatorname {conv} {\overline {T}}={\overline {\operatorname {conv} {T}}}}$.[10]

Literatur

• Lothar Collatz: Funktionalanalysis und numerische Mathematik. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1964 (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 120). 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1968, ISBN 3-540-04135-4 (MR0165651).
• Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264).
• Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis (= B. I.-Hochschultaschenbücher. Band 296). Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1971, ISBN 3-411-00296-4 (MR1183466).
• Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen (= Hochschultext). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1980, ISBN 3-540-09071-1 (MR0586235).
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737).
• S. Mazur: Über die kleinste konvexe Menge, die eine gegebene kompakte Menge enthält. In: Studia Mathematica. Band 2, 1930, S. 7–9.
• Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuse, Boston, Basel, Berlin 2007, ISBN 0-8176-4367-2 (MR2300779).
• A. P. Robertson, W. J. Robertson: Topologische Vektorräume. Übersetzung aus dem Englischen durch Horst S. Holdgrün (= B. I.-Hochschultaschenbücher. 164/164a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1967 (MR0209926).

Einzelnachweise

1. Lothar Collatz: Funktionalanalysis und numerische Mathematik. 1968, S. 352 ff, S. 359
2. Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. 2007, S. 74
3. Collatz, op. cit., S. 355
4. Collatz, op. cit., S. 352
5. Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 23
6. A. P. Robertson, W. J. Robertson: Topologische Vektorräume. 1967, S. 61
7. Allerdings wird bei Robertson/Robertson der Name von Stanisław Mazur nicht weiter erwähnt, während Marti ausdrücklich auf Mazur verweist.
8. Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. 1978, S. 25
9. Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen. 1980, S. 24
10. Marti, op. cit., S. 202
11. Robertson/Robertson, op. cit., S. 58
12. Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis. 1971, S. 18