Satz von Kronecker über Reihenkonvergenz

Der Satz v​on Kronecker über Reihenkonvergenz i​st ein Lehrsatz d​er Analysis. Er w​urde von Leopold Kronecker (1823–1891) i​m Jahre 1886 vorgestellt[1][2] u​nd gibt e​in Kriterium für d​ie Konvergenz unendlicher Reihen an.[3]

Formulierung des Satzes

Gegeben sei eine beliebige Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in {\mathbb {N} _{0}}}}$ von reellen Zahlen. Dann ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Reihe

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}}$,

dass für jede Folge ${\displaystyle (p_{n})_{n\in {\mathbb {N} _{0}}}}$ von positiven reellen Zahlen, welche monoton gegen ${\displaystyle +\infty }$ ansteigt, die abgeleitete Quotientenfolge

${\displaystyle q_{n}={\frac {p_{0}\cdot a_{0}+p_{1}\cdot a_{1}+\cdots +p_{n}\cdot a_{n}}{p_{n}}}}$

eine Nullfolge darstellt.[3]

Folgerungen

Der obige Satz zieht unmittelbar die folgende Aussage nach sich, welche auch unter dem Namen Lemma von Kronecker zitiert wird.[4] Für jede Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}}$ von reellen Zahlen derart, dass

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n}}}$

konvergiert, gilt

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\cdot (a_{1}+\cdots +a_{n})}=0}$.

Aus dem Lemma von Kronecker ergibt sich mit der Setzung ${\displaystyle a_{n}=1}$ für ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$ unmittelbar, dass die harmonische Reihe divergent sein muss.

Im Beweis d​es Kolmogoroffschen Gesetzes d​er großen Zahlen liefert d​as Lemma v​on Kronecker d​as entscheidende Argument.[5][6]

Literatur

Originalarbeiten

• Leopold Kronecker: Quelques remarques sur la détermination des Valeurs moyennes. In: Comptes rendus de séances de l'Académie des Sciences de Paris. 103, 1886, S. 980–987.
• Kurt Hensel (Hrsg.): Leopold Kronecker’s Werke. Herausgegeben auf Veranlassung der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften von K. Hensel. Nachdruck der Ausgabe Leipzig 1930 Auflage. Band 5. Chelsea Publishing Company, New York, N. Y. 1968.

Monographien

• Paul R. Halmos: Measure Theory. Reprint of the edition published by Van Nostrand Auflage. Springer-Verlag, New York [u. a.] 1974, ISBN 0-387-90088-8.
• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5., berichtigte Auflage. Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1964, ISBN 3-540-03138-3.
• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 2009, ISBN 978-3-540-89729-3.

Einzelnachweise

1. Kronecker: Quelques remarques sur la détermination des Valeurs moyennes. In: Comptes rendus. Band 103, 1886, S. 980 ff.
2. Kronecker: Quelques remarques sur la détermination des Valeurs moyennes. In: Leopold Kronecker’s Werke. Band V, 1930, S. 301 ff. (archive.org).
3. Knopp: S. 131, 151.
4. Schmidt: S. 345.
5. Halmos: S. 202–204.
6. Schmidt: S. 345–346.