Konfinalität

In der Ordnungstheorie und Mengenlehre findet die Eigenschaft konfinal (auch: kofinal, engl. cofinal) Anwendung bei topologischen Teilnetzen, so auch bei den proendlichen Zahlen. Der davon abgeleitete Begriff der Konfinalität (auch: Kofinalität, englisch cofinality) bezeichnet ein spezielles Attribut von halbgeordneten Teilmengen, nämlich eine Kardinalzahl.

Der Begriff w​urde von Felix Hausdorff eingeführt.

Definitionen

• Sei ${\displaystyle \lambda }$ eine durch ${\displaystyle \leq }$ partiell geordnete Menge und ${\displaystyle X\subset \lambda }$. Die Menge ${\displaystyle X}$ heißt konfinal (kofinal) in ${\displaystyle \lambda }$ (oder, wenn es mehrere partielle Ordnungen auf ${\displaystyle \lambda }$ gibt, konfinal in ${\displaystyle (\lambda ,\leq )}$), falls zu jedem ${\displaystyle \mu \in \lambda }$ ein ${\displaystyle \xi \in X}$ mit ${\displaystyle \mu \leq \xi }$ existiert.

• Die Konfinalität von ${\displaystyle \lambda }$ wird mit ${\displaystyle \operatorname {cf} (\lambda )}$ bezeichnet und ist definiert als die kleinste Kardinalität einer konfinalen Teilmenge, d. h.

${\displaystyle \operatorname {cf} (\lambda )\;:=\min _{X\subset \lambda {\text{ konfinal}}}|X|}$.

• Für eine Ordinalzahl ${\displaystyle \lambda }$ und damit auch für eine jede Kardinalzahl ${\displaystyle \lambda }$ hat man folgende Begriffsbildung:

Falls ${\displaystyle \operatorname {cf} (\lambda )<\lambda }$, so heißt ${\displaystyle \lambda }$ singulär.

Falls ${\displaystyle \operatorname {cf} (\lambda )=\lambda }$, so heißt ${\displaystyle \lambda }$ regulär.

Begriffsbildung im Sinne von Hausdorff

In Hausdorffs Grundzüge d​er Mengenlehre findet m​an die e​ine allgemeinere Begriffsbildung z​ur Konfinalität, welche i​m Falle, d​ass eine linear geordnete Menge vorliegt, m​it der obigen übereinstimmt. Dieser allgemeinere Begriff lässt s​ich folgendermaßen darstellen:[1][2]

• Ist ${\displaystyle (S,\preccurlyeq )}$ eine nichtleere teilweise geordnete Menge und ${\displaystyle T\subseteq S}$ eine darin liegende nichtleere Teilmenge, so sagt man, ${\displaystyle S}$ sei mit ${\displaystyle T}$ konfinal, wenn kein Element ${\displaystyle s\in S}$ existiert, welches echt größer ist als jedes Element ${\displaystyle t\in T}$.[3]

Folgerungen

• Die Relation

${\displaystyle X\mathrel {\overset {\underset {\text{cof}}{}}{\subset }} \lambda \quad$ :\Longleftrightarrow \quad X\subset \lambda \;\;\wedge \;\;X} ist kofinal in ${\displaystyle \lambda }$

ist transitiv und reflexiv, also eine Quasiordnung.

Transitivität: Ist ${\displaystyle X\mathrel {\overset {\underset {\text{cof}}{}}{\subset }} \lambda }$ und ${\displaystyle Y\mathrel {\overset {\underset {\text{cof}}{}}{\subset }} X}$, dann ist erstens ${\displaystyle Y\subset X\subset \lambda }$. Zweitens gibt es zu jedem ${\displaystyle \xi \in X}$ ein ${\displaystyle \eta \in Y}$ mit ${\displaystyle \xi \leq \eta }$. Ist nun ${\displaystyle \mu \in \lambda }$, dann gibt es ein ${\displaystyle \xi \in X}$ mit ${\displaystyle \mu \leq \xi }$, also auch ein ${\displaystyle \eta \in Y}$ mit ${\displaystyle \mu \leq \xi \leq \eta }$. Zusammengenommen folgt ${\displaystyle Y\mathrel {\overset {\underset {\text{cof}}{}}{\subset }} \lambda }$.

Die Reflexivität ist trivial.

• Die Konfinalität ist genau dann ${\displaystyle 0}$, wenn die partiell geordnete Menge leer ist.
• Die Konfinalität ist genau dann ${\displaystyle 1}$, wenn die Ordnung ein Maximum besitzt, etwa wenn es sich um eine Nachfolgerordinalzahl handelt.
• Für nicht-leere partiell geordnete Mengen ohne maximale Elemente ist die Konfinalität mindestens abzählbar, also ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (siehe Aleph-Funktion), und höchstens die Kardinalität der Menge selbst, denn jede partiell geordnete Menge liegt konfinal in sich selbst.
• Für totalgeordnetes ${\displaystyle \lambda }$ gilt ${\displaystyle \operatorname {cf} (\operatorname {cf} (\lambda ))=\operatorname {cf} (\lambda )}$, das heißt, ${\displaystyle \operatorname {cf} (\lambda )}$ ist regulär.
• Für eine Limeszahl ${\displaystyle \lambda }$ (aufgefasst als Von-Neumann-Ordinalzahl) ist eine Teilmenge ${\displaystyle X}$ genau dann konfinal, wenn ihre Vereinigung ${\displaystyle \textstyle \bigcup X}$ gleich ${\displaystyle \lambda }$ ist.
• Besitzt eine unendliche Menge ${\displaystyle K}$ reguläre Kardinalität ${\displaystyle \kappa }$, so benötigt man mindestens ${\displaystyle \kappa }$ viele Mengen mit Mächtigkeit kleiner als ${\displaystyle \kappa }$, um ${\displaystyle K}$ als Vereinigung dieser Mengen darzustellen.
• Für eine Limeszahl ${\displaystyle \lambda }$ ist eine Teilmenge genau dann konfinal, wenn sie als Netz, versehen mit der natürlichen Ordnung, in der Ordnungstopologie von ${\displaystyle \lambda +1}$ gegen ${\displaystyle \lambda }$ konvergiert.

Beispiele

• Die Konfinalität von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit der natürlichen Ordnung ist ${\displaystyle \aleph _{0}}$, denn die natürlichen Zahlen bilden eine abzählbare konfinale Teilmenge.
• ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ist regulär.
• Schränkt man ein Netz unter Übernahme der Ordnung auf eine konfinale Teilmenge ein, erhält man ein Teilnetz (jedoch muss nicht jedes Teilnetz diese Gestalt besitzen).
• Die Kardinalzahl ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ ist singulär. Es gilt ${\displaystyle \operatorname {cf} (\aleph _{\omega })=\aleph _{0}}$, denn ${\displaystyle \{\aleph _{i}\mid i\in \mathbb {N} \}}$ ist eine konfinale Teilmenge.
• Ist ${\displaystyle \alpha }$ eine Nachfolgerordinalzahl und gilt das Auswahlaxiom, so ist ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ stets regulär. Die Frage, ob es neben ${\displaystyle \aleph _{0}}$ weitere und damit überabzählbare, reguläre Limeskardinalzahlen gibt, ist Kern der Große-Kardinalzahl-Axiome, d. h. der Axiome über die Existenz großer Kardinalzahlen.

Literatur

• Ulf Friedrichsdorf, Alexander Prestel: Mengenlehre für den Mathematiker (= Vieweg-Studium. 58 Grundkurs Mathematik.). Vieweg, Braunschweig u. a. 1985, ISBN 3-528-07258-X.
• Thomas Jech: Set Theory. 3rd millennium Edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2.
• P. S. Alexandroff: Lehrbuch der Mengenlehre. Übersetzt aus dem Russischen von Manfred Peschel, Wolfgang Richter und Horst Antelmann. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main 1994, ISBN 3-8171-1365-X.
• Egbert Harzheim: Ordered Sets (= Advances in Mathematics. Band 7). Springer Verlag, New York 2005, ISBN 0-387-24219-8 (MR2127991).
• Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Reprinted, New York, 1965. Chelsea Publishing Company, New York, N. Y. 1965.
• Erich Kamke: Mengenlehre (= Sammlung Göschen. 999/999a). 7. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin, New York 1971.

Einzelnachweise

1. Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Reprinted, New York, 1965, S. 140.
2. Erich Kamke: Mengenlehre. 1971, S. 167–168.
3. In Bezug auf die vorliegende Ordnungsrelation ${\displaystyle \preccurlyeq }$ .