Satz von Hopf-Whitney

Im mathematischen Gebiet der algebraischen Topologie ist der Satz von Hopf-Whitney ein Klassifikationssatz für Abbildungen eines -dimensionalen Simplizialkomplexes in die -dimensionale Sphäre.

Satz: Sei ein -dimensionaler Simplizialkomplex. Dann gibt es eine Bijektion zwischen der Menge der Homotopieklassen von Abbildungen und der -ten Kohomologie von :

.

Die Bijektion wird vermittelt, indem man einer Abbildung das Zurückgezogene der Fundamentalklasse zuordnet.

Falls eine orientierbare, geschlossene Mannigfaltigkeit ist, ist und man bekommt die durch den Abbildungsgrad gegebene Bijektion .

Der Satz von Hopf-Whitney gilt allgemeiner auch für Abbildungen von CW-Komplexen in -zusammenhängende Räume. Sei ein -dimensionaler CW-Komplex und ein -zusammenhängender Raum. Sei . Dann gibt es ein Element , welches unter der Korrespondenz dem Identitätsmorphisus entspricht, und die Zuordnung definiert eine Bijektion

.

Literatur

  • H. Hopf: Die Klassen der Abbildungen der n-dimensionalen Polyeder auf die n-dimensionale Sphäre, Comm. Math. Helv. 5, 39–54, 1933
  • H. Whitney: The maps of an n-complex into an n-sphere, Duke Math. J. 3, 51–55, 1937
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