Satz von Hopf-Whitney

Im mathematischen Gebiet der algebraischen Topologie ist der Satz von Hopf-Whitney ein Klassifikationssatz für Abbildungen eines ${\displaystyle n}$-dimensionalen Simplizialkomplexes in die ${\displaystyle n}$-dimensionale Sphäre.

Satz: Sei ${\displaystyle X}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler Simplizialkomplex. Dann gibt es eine Bijektion zwischen der Menge der Homotopieklassen von Abbildungen ${\displaystyle f\colon X\to S^{n}}$ und der ${\displaystyle n}$-ten Kohomologie von ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle \left[X,S^{n}\right]\cong H^{n}(X;\mathbb {Z} )}$.

Die Bijektion wird vermittelt, indem man einer Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to S^{n}}$ das Zurückgezogene ${\displaystyle f^{*}\left[S^{n}\right]\in H^{n}(X;\mathbb {Z} )}$ der Fundamentalklasse ${\displaystyle \left[S^{n}\right]\in H^{n}(S^{n};\mathbb {Z} )}$ zuordnet.

Falls ${\displaystyle X=M^{n}}$ eine orientierbare, geschlossene Mannigfaltigkeit ist, ist ${\displaystyle H^{n}(M^{n};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$ und man bekommt die durch den Abbildungsgrad gegebene Bijektion ${\displaystyle \left[M^{n},S^{n}\right]\cong \mathbb {Z} }$.

Der Satz von Hopf-Whitney gilt allgemeiner auch für Abbildungen von CW-Komplexen in ${\displaystyle (n-1)}$-zusammenhängende Räume. Sei ${\displaystyle X}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler CW-Komplex und ${\displaystyle Y}$ ein ${\displaystyle (n-1)}$-zusammenhängender Raum. Sei ${\displaystyle \pi =\pi _{n}Y}$. Dann gibt es ein Element ${\displaystyle \iota \in H^{n}(Y;\pi )}$, welches unter der Korrespondenz ${\displaystyle H^{n}(Y;\pi )\cong \left[Y;K(\pi ,n)\right]\cong \mathrm {Hom} (\pi _{n}Y,\pi )}$ dem Identitätsmorphisus entspricht, und die Zuordnung ${\displaystyle f\to f^{*}\iota }$ definiert eine Bijektion

${\displaystyle \left[X,Y\right]\cong H^{n}(X;\pi )}$.

Literatur

• H. Hopf: Die Klassen der Abbildungen der n-dimensionalen Polyeder auf die n-dimensionale Sphäre, Comm. Math. Helv. 5, 39–54, 1933
• H. Whitney: The maps of an n-complex into an n-sphere, Duke Math. J. 3, 51–55, 1937