Satz von Hausdorff

Der Satz v​on Hausdorff i​st einer d​er zahlreichen mathematischen Lehrsätze, d​ie der deutsche Mathematiker Felix Hausdorff (1868–1942) z​u den Gebieten Mengenlehre u​nd Ordnungstheorie beigetragen hat. Der Satz g​eht zurück a​uf Hausdorffs Arbeiten über Konfinalität u​nd Ordnungstypen.[1][2]

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt s​ich wie f​olgt formulieren:[3][4]

In einer nichtleeren linear geordneten Menge ${\displaystyle (K,\preccurlyeq )}$ existiert stets eine durch die gegebene Ordnungsrelation ${\displaystyle \preccurlyeq }$ wohlgeordnete Teilmenge ${\displaystyle W\subseteq K}$, die in ${\displaystyle (K,\preccurlyeq )}$ konfinal ist.

Hat ${\displaystyle K}$ dabei die Mächtigkeit ${\displaystyle |K|=\aleph _{\tau }\;(\tau \in \mathrm {On} )}$ und besitzt ${\displaystyle W}$ den Ordnungstypus ${\displaystyle \operatorname {ord} (W)=\xi }$, so gilt in Bezug auf die zu ${\displaystyle \aleph _{\tau }}$ gehörige Anfangszahl die Ungleichung ${\displaystyle \xi \leq \omega _{\tau }}$.

Folgerungen

Aus d​em Hausdorff'schen Satz ergibt s​ich unmittelbar folgendes Resultat:[5]

In einer nichtleeren teilweise geordneten Menge ${\displaystyle (S,\preccurlyeq )}$ existiert stets eine durch die gegebene Ordnungsrelation ${\displaystyle \preccurlyeq }$ wohlgeordnete Teilmenge ${\displaystyle W\subseteq S}$, mit der ${\displaystyle (S,\preccurlyeq )}$ konfinal im Sinne von Hausdorff ist.

Weiterhin gewinnt m​an aus d​em Satz e​in Resultat über reguläre Ordinalzahlen:[6]

Jede unendliche reguläre Ordinalzahl ist eine Anfangszahl ${\displaystyle \omega _{\tau }}$, während die einzigen endlichen regulären Ordinalzahlen ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle 1}$ sind.

Der Satz besitzt z​udem eine weitere Verschärfung, d​ie im Wesentlichen a​uch auf Hausdorff zurückgeht:[7][8]

Für eine linear geordnete Menge ${\displaystyle (K,\preccurlyeq )}$ ist die Konfinalität ${\displaystyle \operatorname {cf} (K,\preccurlyeq )}$ stets entweder ${\displaystyle 0}$ oder ${\displaystyle 1}$ oder aber – nämlich dann, wenn ${\displaystyle (K,\preccurlyeq )}$ kein größtes Element besitzt – eine reguläre Anfangszahl und daneben gibt es keine andere reguläre Ordinalzahl, die als Ordnungstypus ${\displaystyle \operatorname {ord} (W)}$ einer in ${\displaystyle (K,\preccurlyeq )}$ enthaltenen konfinalen Teilmenge ${\displaystyle W\subseteq K}$ vorkommt.

Anmerkungen

• In den Beweis des Satzes von Hausdorff geht wesentlich der Wohlordnungssatz ein.[9][4][5]
• Der Beweis der ersten Folgerung beruht auf einer direkten Anwendung von Hausdorffs Maximalkettensatz.[5]

Literatur

• P. S. Alexandroff: Lehrbuch der Mengenlehre. Übersetzt aus dem Russischen von Manfred Peschel, Wolfgang Richter und Horst Antelmann. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main 1994, ISBN 3-8171-1365-X.
• Egbert Harzheim: Ordered Sets (= Advances in Mathematics. Band 7). Springer Verlag, New York 2005, ISBN 0-387-24219-8 (MR2127991).
• Felix Hausdorff: Untersuchungen über Ordnungstypen I, II, III. In: Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsische Gesellschaft der Wissenschaften. Band 58, 1906, S. 106–169.
• Felix Hausdorff: Untersuchungen über Ordnungstypen IV, V. In: Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsische Gesellschaft der Wissenschaften. Band 59, 1907, S. 84–159.
• Felix Hausdorff: Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen. In: Mathematische Annalen. Band 65, 1908, S. 435–505 (MR1511478).
• Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Reprinted, New York, 1965. Chelsea Publishing Company, New York, N. Y. 1965.
• Erich Kamke: Mengenlehre (= Sammlung Göschen. 999/999a). 7. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin, New York 1971.
• Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers. Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warschau 1958 (MR0095787).

Einzelnachweise

1. P. S. Alexandroff: Lehrbuch der Mengenlehre. 1994, S. 86 ff.
2. Egbert Harzheim: Ordered Sets. 2005, S. 271 ff.
3. Alexandroff, op. cit., S. 87
4. Harzheim, op. cit., S. 72.
5. Erich Kamke: Mengenlehre. 1971, S. 167–168.
6. Harzheim, op. cit., S. 73.
7. Harzheim, op. cit., S. 74.
8. Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers. 1958, S. 458–459.
9. Alexandroff, op. cit., S. 88–89