Satz von Hadwiger (Konvexgeometrie)

Der Satz v​on Hadwiger i​st ein Lehrsatz d​es mathematischen Gebiets d​er Konvexgeometrie u​nd als solcher angesiedelt zwischen d​en Gebieten d​er Geometrie u​nd der Analysis. Er entstammt d​er von Hugo Hadwiger i​m Jahre 1955 vorgelegten Fachpublikation Altes u​nd Neues über konvexe Körper u​nd behandelt d​ie polyedrische Approximation gewisser Teilmengen d​es euklidischen Raums d​urch konvexe Polyeder.[1]

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt s​ich in moderner Fassung w​ie folgt formulieren:[2]

Für jede kompakte konvexe Nullumgebung ${\displaystyle N\subseteq \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ und jedes ${\displaystyle \epsilon >0}$ gibt es stets ein kompaktes konvexes Polyeder ${\displaystyle P\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ mit

${\displaystyle P\subseteq N\subseteq (1+\epsilon )P}$.

Erläuterungen und Anmerkungen

• Hugo Hadwiger hat seinen Satz lediglich für Eikörper, also für konvexe und kompakte Punktmengen des dreidimensionalen euklidischen Raums, formuliert.[3] Dabei bezeichnet er ein konvexes Polyeder des dreidimensionalen euklidischen Raums als Eipolyeder.[4]
• Eine Nullumgebung ist eine Punktmenge in einem topologischen Vektorraum, die dort Umgebung des Nullvektors ist.
• Für eine Teilmenge ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ und eine reelle Zahl ${\displaystyle \lambda }$ besteht ${\displaystyle \lambda T\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ exakt aus allen ${\displaystyle \lambda t}$ mit ${\displaystyle t\in T}$. Ist dabei ${\displaystyle \lambda >1}$ und ${\displaystyle P\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ ein konvexes Polyeder, so nennt Hadwiger ${\displaystyle \lambda P}$ in diesem Kontext das durch Dilatation mit ${\displaystyle \lambda }$ aus ${\displaystyle P}$ hervorgehende homothetische Polyeder.

Literatur

• Hugo Hadwiger: Altes und Neues über konvexe Körper (= ELEMENTE DER MATHEMATIK VOM HÖHEREN STANDPUNKT AUS. Band III). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1955 (MR0073220).
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737).

Einzelnachweise

1. Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 230–233
2. Marti, op. cit., S. 231
3. Hugo Hadwiger: Altes und Neues über konvexe Körper. 1955, S. 23–24
4. Hadwiger, op. cit., S. 8