Satz von Hörmander

Der Satz v​on Hörmander i​st ein Theorem a​us der Mathematik. Er i​st ein Ergebnis a​us der stochastischen Analysis (Malliavin-Kalkül) u​nd der Theorie d​er partiellen Differentialgleichungen. Der Satz beweist d​ie Existenz e​iner stetigen Dichte d​er Lösung e​iner stochastischen Differentialgleichung. Er w​urde ursprünglich v​on Lars Hörmander für partielle Differentialgleichungen bewiesen. Im Artikel w​ird die probabilistische Variante behandelt.[1]

Satz von Hörmander

Seien ${\displaystyle V_{0},V_{1},\dots ,V_{n}}$ Vektorfelder, für die die Hörmander-Bedingung gilt, und ${\displaystyle \xi }$ sei die Lösung der folgenden stochastischen Differentialgleichung

${\displaystyle \xi _{t}=x+\int _{0}^{t}V_{0}(\xi _{s})\mathrm {d} s+\sum \limits _{i=1}^{n}\int _{0}^{t}V_{i}(\xi _{s})\mathrm {d} \circ B_{i}(s)}$,

wobei ${\displaystyle \mathrm {d} \circ }$ das Stratonowitsch-Integral bezeichnet und ${\displaystyle B=(B_{1},\dots ,B_{n})}$ die ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-Brownsche Bewegung. Dann hat für ${\displaystyle t\in (0,1]}$ die Zufallsvariable ${\displaystyle \xi _{t}}$ eine absolut-stetige Verteilung mit Dichte in ${\displaystyle C^{\infty }}$.

Hörmander-Bedingung

Mit ${\displaystyle [A,B]}$ bezeichne man Lie-Klammern mit Fréchet-Ableitungen ${\displaystyle \mathrm {D} A(x)}$

${\displaystyle [A,B](x)=\mathrm {D} A(x)B(x)-A(x)\mathrm {D} B(x)}$.

Seien ${\displaystyle V_{0},V_{1},\dots ,V_{n}}$ beschränkte Vektorfelder in ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})}$ mit beschränkten Ableitungen jeder Ordnung. Definiere ${\displaystyle U_{0}:=\{V_{0},V_{1},\dots ,V_{n}\}}$ und rekursiv

${\displaystyle U_{n+1}:=U_{n}\cup \{[V,V_{i}],\ V\in U_{n}\mid i\in \{0,1,\dots ,n\}\}}$.

Setze außerdem

${\displaystyle {\mathcal {U}}:=\bigcup U_{n}}$ und

${\displaystyle {\mathcal {U}}(x):=\operatorname {span} (U(x)\mid U\in {\mathcal {U}})}$.

Dann erfüllt die Familie ${\displaystyle V_{0},V_{1},\dots ,V_{n}}$ die Hörmander-Bedingung, wenn für jedes ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$ die Gleichheit

${\displaystyle \dim {\mathcal {U}}(x)=d}$

gilt.

Einzelnachweise

1. Denis R. Bell: The Malliavin calculus. Dover Publications Inc., Mineola, New York 2006, ISBN 0-486-44994-7, S. 73.