Satz von Dold

In d​er Mathematik i​st der Satz v​on Dold e​ine Verallgemeinerung d​es Satzes v​on Borsuk-Ulam, d​er zahlreiche Anwendungen i​n der topologischen Kombinatorik besitzt.

Satz von Dold

Wenn e​ine stetige Abbildung

${\displaystyle f\colon S^{m}\to S^{n}}$

äquivariant für freie Wirkungen einer nichttrivialen endlichen Gruppe auf den Sphären ${\displaystyle S^{m}}$ und ${\displaystyle S^{n}}$ ist, dann ist

${\displaystyle n\geq m}$.

Wenn ${\displaystyle n=m}$ ist, dann ist ${\displaystyle f}$ nicht nullhomotop.

Spezialfall: Satz von Borsuk-Ulam

Wenn man ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ und ihre Wirkung per Antipodenabbildung

${\displaystyle x\to -x}$

auf ${\displaystyle S^{m}}$ und ${\displaystyle S^{n}}$ betrachtet, dann erhält man aus dem Satz von Dold die folgende Variante des Satzes von Borsuk-Ulam.

Für ${\displaystyle m>n}$ gibt es keine stetige Abbildung

${\displaystyle f\colon S^{m}\to S^{n}}$,

die

${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$

für alle ${\displaystyle x\in S^{m}}$ erfüllt.

Verallgemeinerung

Eine nichttriviale endliche Gruppe ${\displaystyle G}$ wirke auf einem Raum ${\displaystyle X}$ und frei auf einem Raum ${\displaystyle Y}$.

Für die Dimension ${\displaystyle n:=\mathrm {dim} (Y)}$ gelte ${\displaystyle \pi _{0}X=\pi _{1}X=\ldots =\pi _{n-1}X=\pi _{n}X=0}$.

Dann gibt es keine stetige ${\displaystyle G}$-äquivariante Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to Y}$.

Geschichte

Der Satz wurde 1983 von Albrecht Dold veröffentlicht.[1] Die Verallgemeinerung (unter der Annahme, dass auch die Wirkung auf ${\displaystyle X}$ frei ist) wurde ebenfalls von Dold mit der Bemerkung "Essentially the same proof gives the following result." formuliert.[2] Er bemerkte weiterhin, dass für ${\displaystyle Y}$ parakompakt und ${\displaystyle \mathrm {dim} (Y)=1+\mathrm {conn} (X)<\infty }$[3] eine äquivariante stetige Abbildung nicht nullhomotop sein kann.

Ein Beweis d​er Verallgemeinerung findet s​ich in [4].

Literatur

• Albrecht Dold: Simple proofs of some Borsuk-Ulam results. Proceedings of the Northwestern Homotopy Theory Conference (Evanston, Ill., 1982), 65–69, Contemp. Math., 19, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1983. online
• Pavle Blagojević, Aleksandra Dimitrijević Blagojević, John McCleary: Spectral sequences in combinatorial geometry: cheeses, inscribed sets, and Borsuk-Ulam type theorems. Topology Appl. 158 (2011), no. 15, 1920–1936. online

Einzelnachweise

1. Dold, op. cit., S. 65
2. Dold, op. cit., S. 68
3. Die Konnektivität ${\displaystyle \mathrm {conn} (X)}$ eines topologischen Raumes ist die größte Zahl ${\displaystyle m}$, für die ${\displaystyle \pi _{0}X=\pi _{1}X=\ldots =\pi _{m}X=0}$ gilt.
4. Blagojević et al., op. cit.