Monotone Funktionenfolge

Eine monotone Funktionenfolge i​st in d​er Mathematik e​ine spezielle Funktionenfolge reellwertiger Funktionen. Dabei heißt e​ine Funktionenfolge monoton wachsend, w​enn die Funktionswerte für j​edes Argument e​ine monoton wachsende Folge bilden u​nd monoton fallend, w​enn sie e​ine monoton fallende Folge bilden. Monotone Funktionenfolgen s​ind einer d​er vielen Monotoniebegriffe i​n der Mathematik u​nd können a​ls Spezialfall e​iner monotonen Abbildung angesehen werden.

Definition

Sind ${\displaystyle f_{k}\colon D\mapsto \mathbb {R} }$ für ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ reellwertige Funktionen, dann heißt die Funktionenfolge ${\displaystyle (f_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$

• monoton wachsend auf ${\displaystyle D}$ , wenn ${\displaystyle f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in D}$ ist,
• monoton fallend auf ${\displaystyle D}$ , wenn ${\displaystyle f_{k}(x)\geq f_{k+1}(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in D}$ ist, und
• monoton, wenn sie entweder monoton fallend oder monoton wachsend ist.

Beispiel

Man betrachte als Beispiel die Funktionenfolge ${\displaystyle f_{k}(x)=x^{k}}$ . Sie ist

• monoton fallend auf ${\displaystyle D=[0,1]}$ , da ${\displaystyle f_{k+1}(x)\leq f_{k}(x)}$ äquivalent ist zu ${\displaystyle f_{k+1}(x)-f_{k}(x)\leq 0}$ und

${\displaystyle x^{k+1}-x^{k}=x^{k}(x-1)\leq 0}$

da ${\displaystyle x^{k}}$ stets in ${\displaystyle [0,1]}$ ist für ${\displaystyle x\in [0,1]}$ und ${\displaystyle (x-1)}$ stets kleiner als null ist für ${\displaystyle x\in [0,1]}$ . Damit ist die Funktionenfolge auch monoton auf ${\displaystyle [0,1]}$ .

• monoton wachsend auf ${\displaystyle [1,\infty )}$ , da dann ${\displaystyle x^{k}}$ stets größer als 1 ist, und der Term ${\displaystyle (x-1)}$ immer positiv ist, also ist

${\displaystyle x^{k+1}-x^{k}=x^{k}(x-1)\geq 0}$ .

Damit ist die Funktionenfolge auch monoton auf ${\displaystyle [1,\infty )}$ . Sie ist jedoch nicht monoton auf ${\displaystyle [0,\infty )}$ , da sie auf diesem größeren Intervall kein eindeutiges Monotonieverhalten hat, sondern nur auf den kleineren Teilintervallen ${\displaystyle [0,1]}$ und ${\displaystyle [1,\infty )}$ .

• nicht monoton auf ${\displaystyle [-1,0]}$ . Zwar ist ${\displaystyle (1-x)}$ immer positiv, aber es ist

${\displaystyle x^{k}={\begin{cases}\geq 0&{\text{ falls }}k{\text{ gerade }}\\\leq 0&{\text{ falls }}k{\text{ ungerade }}\end{cases}}}$ .

Somit wechselt ${\displaystyle x^{k}-x^{k+1}}$ für ${\displaystyle x\neq 0}$ ständig die Vorzeichen, es kann demnach keine Monotonie gelten.

Verwendung

Monotone Funktionenfolgen finden Verwendung a​ls Voraussetzung i​n einigen Sätzen d​er Analysis w​ie zum Beispiel b​ei dem Satz v​on Dini u​nd insbesondere i​n der Integrationstheorie e​twa bei d​em Satz v​on der monotonen Konvergenz u​nd bei d​em Beweis d​es Lemmas v​on Fatou.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.