Satz von Denjoy-Riesz

Der Satz v​on Denjoy-Riesz i​st ein Lehrsatz d​er Mathematik.

Eine total unzusammenhängende Menge, die nach dem Satz von Denjoy-Riesz durch eine Jordan-Kurve überdeckt werden kann.

Er besagt, dass jede kompakte, null-dimensionale (d. h. total unzusammenhängende) Teilmenge ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{2}}$ der Ebene von einer offenen Jordan-Kurve überdeckt werden kann, d. h. sie ist eine Teilmenge des Bildes einer stetigen Abbildung ${\displaystyle w\colon \left[0,1\right]\to \mathbb {R} ^{2}}$.

Der Satz i​st nach d​en Mathematikern Frigyes Riesz u​nd Arnaud Denjoy benannt.

Eine Verallgemeinerung ist der Satz von Moore-Kline: Eine kompakte Menge ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{2}}$ kann genau dann von einer Jordan-Kurve überdeckt werden, wenn jede Komponente von ${\displaystyle A}$ ein Punkt oder eine offene Jordan-Kurve ${\displaystyle J}$ ist mit der Eigenschaft, dass höchstens die Endpunkte von ${\displaystyle J}$ Häufungspunkte von ${\displaystyle A\setminus J}$ sein können.

Literatur

• R. L. Moore, J. R. Kline: On the most general plane closed point-set through which it is possible to pass a simple continuous arc, Ann. Math. 20 (3): 228-223, 1919.