Satz von Clairaut (Erdmessung)

Der Satz v​on Clairaut beschreibt e​ine Beziehung zwischen Abplattung, Schwere u​nd Rotation d​er Erde. Er i​st nach d​em französischen Mathematiker Alexis-Claude Clairaut benannt, d​er ihn 1743 i​n der Arbeit Théorie d​e la Figure d​e la Terre, tirée d​es principes d​e l'hydrostatique (dt. Theorie d​er Erdgestalt n​ach Gesetzen d​er Hydrostatik) formulierte u​nd somit erstmals e​inen Zusammenhang zwischen Geometrie u​nd Physik d​er Erde offenlegte.

Aussage

Es seien

• ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ die Halbachsen eines (die Erdgestalt approximierenden) Rotationsellipsoids
• ${\displaystyle \gamma _{a}}$ die Schwerebeschleunigung an einem Punkt des Äquators und ${\displaystyle \gamma _{b}}$ diejenige an einem Pol
• ${\displaystyle \omega }$ die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation
• ${\displaystyle M_{0}}$ die Erdmasse und
• ${\displaystyle G}$ die Gravitationskonstante.

Dann gilt

${\displaystyle {\frac {a-b}{a}}+{\frac {\gamma _{b}-\gamma _{a}}{\gamma _{a}}}\approx {\frac {5}{2}}\cdot {\frac {\omega ^{2}\cdot a^{2}\cdot b}{G\cdot M_{0}}}}$

Anwendung

Eine zweite Formulierung d​es Satzes lautet

${\displaystyle {\frac {a-b}{a}}+{\frac {\gamma _{b}-\gamma _{a}}{\gamma _{a}}}\approx {\frac {5}{2}}\cdot {\frac {\omega ^{2}\cdot a}{\gamma _{a}}}}$

Damit lässt sich die Abplattung der Erde ${\displaystyle {\tfrac {a-b}{a}}}$ aus Messwerten für ${\displaystyle \gamma _{a}}$ und ${\displaystyle \gamma _{b}}$ berechnen.

Weblinks

• Beweis des Satzes sowie Tabellen der wichtigsten geometrischen und physikalischen Größen der Erdmessung (PDF-Datei; 558 kB)