Satz von Bruck-Ryser-Chowla

Der Satz v​on Bruck–Ryser–Chowla i​st eine kombinatorische Aussage über mögliche Blockpläne, d​ie notwendige Bedingungen für d​eren Existenz angibt.

Der Satz besagt: Wenn ein symmetrischer ${\displaystyle t-(v,k,\lambda )}$-Blockplan existiert, dann gilt

• falls v gerade ist, dann ist ${\displaystyle k-\lambda }$ eine Quadratzahl;
• falls v ungerade ist, dann hat die diophantische Gleichung
  ${\displaystyle x^{2}=(k-\lambda )\cdot y^{2}+(-1)^{\frac {v-1}{2}}\cdot \lambda \cdot z^{2}}$
  eine nichtverschwindende Lösung ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}.}$

Der Satz w​urde 1949 für d​en Spezialfall d​er projektiven Ebenen v​on Richard Bruck u​nd Herbert John Ryser bewiesen[1] u​nd 1950 m​it Sarvadaman Chowla a​uf allgemeinere symmetrische Blockpläne verallgemeinert.[2]

Endliche projektive Ebenen

Im Spezialfall eines minimalen symmetrischen 2-Blockplans mit ${\displaystyle \lambda =1}$ – also für endliche projektive Ebenen[3] – lässt sich der Satz so formulieren:

Wenn eine projektive Ebene der Ordnung ${\displaystyle q}$ existiert und ${\displaystyle q\equiv 1{\pmod {4}}}$ oder ${\displaystyle q\equiv 2{\pmod {4}}}$ gilt, dann ist ${\displaystyle q}$ die Summe von zwei Quadratzahlen (von denen auch eine verschwinden kann).

Fasst man eine endliche projektive Ebene der Ordnung ${\displaystyle q}$ als speziellen symmetrischen Blockplan auf, dann lauten die Parameter, die den Blockplan beschreiben

${\displaystyle v=q^{2}+q+1;\quad k=q+1;\lambda =1}$.

In dieser spezielleren Formulierung für projektive Ebenen w​ird der Satz a​uch als Satz v​on Bruck u​nd Ryser zitiert.

Folgerungen und Beispiele

Aus dem Satz folgt dann zum Beispiel, dass es zu den Ordnungen 6 und 14 keine Ebene gibt, er schließt aber nicht die Existenz von Ebenen der Ordnungen ${\displaystyle 10=2\cdot 4+2=3^{2}+1^{2}}$ und ${\displaystyle 12\equiv 0{\pmod {4}}}$ aus. Es konnte gezeigt werden, dass keine projektive Ebene der Ordnung 10 existiert.[4] Daraus folgt, dass die Bedingungen im Satz von Bruck-Ryser-Chowla keine hinreichenden Bedingung für die Existenz von Blockplänen sind.

• Die Ordnungen ${\displaystyle q=5=4+1;9=9+0;13=9+4}$ erfüllen die notwendige Bedingung des Satzes für projektive Ebenen. Tatsächlich existieren Ebenen mit diesen Ordnungen, da sie zugleich Primzahlpotenzen sind.
• Über Ebenen der Ordnung ${\displaystyle q=27=3^{3}}$ macht der Satz keine Aussage, da ${\displaystyle 27\equiv 3{\pmod {4}}}$ ist. Da 27 eine Primzahlpotenz ist, existiert eine Ebene mit dieser Ordnung.

Ausgeschlossene Ordnungen

Die Folge der Zahlen, die aufgrund des Satzes von Bruck und Ryser nicht Ordnungen einer projektiven Ebene sein können, also die Zahlen ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle n\equiv 1,2{\pmod {4}}}$, die nicht Summe von zwei Quadratzahlen sind, bilden die Folge A046712 in OEIS.

Die kleinsten d​amit ausgeschlossenen Ordnungen sind:[5] 6, 14, 21, 22, 30, 33, 38, 42, 46, 54, 57, 62, 66, 69, 70, 77, 78, 86, 93, 94, 102, 105, 110, 114, 118, 126, 129, 133, 134, 138, 141, 142, 150, 154, 158, 161, 165, 166, 174, 177, 182, 186, 189, 190, 198, 201, 206, 209, 210, 213, 214, 217, 222, 230, 237, 238, …

Literatur

Fachartikel

• Richard H. Bruck, Herbert John Ryser: The nonexistence of certain finite projective planes. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 1. Canadian Mathematical Society, 1. Februar 1949, S. 88–93, doi:10.4153/CJM-1949-009-2 (Abstract mit Link zum englischen PDF-Volltext [abgerufen am 8. Februar 2012]).
• Sarvadaman Chowla, Herbert John Ryser: Combinatorial problems. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 2. Canadian Mathematical Society, 1950, S. 93–99.
• C. W. H. Lam: The Search for a Finite Projective Plane of Order 10. In: American Mathematical Monthly. Band 98, Nr. 4, 1991, S. 305–318 (englisch, cecm.sfu.ca [abgerufen am 8. Februar 2012]).

Lehrbücher, d​ie in d​as Themengebiet einführen

• Jeffrey H. Dinitz, Douglas Robert Stinson: A Brief Introduction to Design Theory. In: J. H. Dinitz and D. R. Stinson (Hrsg.): Contemporary Design Theory: A Collection of Surveys. Wiley, New York 1992, ISBN 0-471-53141-3, Kap. 1, S. 1–12.
• Jacobus Hendricus van Lint, R. M. Wilson: A Course in Combinatorics. 2. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2001, ISBN 0-521-80340-3.
• Jiří Matoušek, Jaroslav Nešetřil: Diskrete Mathematik. Eine Entdeckungsreise. Springer, Berlin / Heidelberg / New York / … 2002, ISBN 3-540-42386-9, 8: Endliche projektive Ebenen und 11.1: Designs (DNB 963555103/04 [abgerufen am 8. Februar 2012] englisch: Invitation to Discrete Mathematics. Übersetzt von Hans Mielke, Lehrbuch, das wenig Vorkenntnisse – gehobene Schulmathematik bis 2. Semester Mathematikstudium – voraussetzt).
• Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie I. 2. Auflage. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim 1983, ISBN 3-411-01632-9, S. 176–185.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Bruck–Ryser–Chowla Theorem. In: MathWorld (englisch).
• block design. In: Encyclopaedia of Mathematics

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. Bruck und Ryser (1949)
2. Chowla und Ryser (1950)
3. Das heißt ${\displaystyle t=2}$ verschiedene „Blöcke“, die in der Geometrie Geraden genannt werden, haben stets genau einen (${\displaystyle \lambda =1}$) gemeinsamen „Punkt“.
4. van Lint (1992)
5. Reinhard Zumkeller: Tabelle n, a(n) für n = 1..10000 gibt die ersten 10000 so ausgeschlossenen Zahlen samt ihrer Nummer in der Zahlenfolge A046712 an: ASCII-Textdatei, abgerufen am 9. Februar 2012.