Satz von Brauer

Der Satz von Brauer ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Darstellungstheorie von Gruppen von Richard Brauer. Er besagt, dass jede lineare Darstellung einer endlichen Gruppe in mehr oder minder einfacher Weise aus Darstellungen von sogenannten elementaren Untergruppen gewonnen werden kann. Dabei sind diese elementaren Untergruppen direktes Produkt einer p-Gruppe und einer zyklischen Gruppe. Zum Verständnis der Darstellungstheorie von ist es also ausreichend, die Darstellungen ihrer zyklischen und ihrer p-Untergruppen zu kennen.

Notation

Zuerst benötigen w​ir einige Definitionen:

Eine Gruppe heißt -elementar, falls sie das direkte Produkt einer zyklischen Gruppe von Primzahlordnung mit einer -Gruppe ist.

Eine Untergruppe von heißt elementar, falls sie -elementar für mindestens eine Primzahl ist.

Eine Darstellung von heißt monomial, falls sie von einer -dimensionalen Darstellung einer Untergruppe von induziert ist.

Satz von Brauer

Jeder Charakter einer endlichen Gruppe ist eine ganzzahlige Linearkombination von Charakteren, die von Charakteren elementarer Untergruppen induziert werden.

Ein Beweis u​nd eine ausführlichere Erläuterung d​er von Brauer aufgestellten Theorie findet s​ich in Büchern v​on Jean-Pierre Serre[1] u​nd Serge Lang.[2]

Anwendungen

Da -elementare Gruppen nilpotent und damit überauflösbar sind, kann folgender Satz aus[3] angewendet werden:

Satz

Sei eine überauflösbare Gruppe. Dann ist jede irreduzible Darstellung von induziert von einer -dimensionalen Darstellung einer Untergruppe von D. h., jede irreduzible Darstellung von ist monomial.

Damit erhalten w​ir als Folgerung a​us dem Satz v​on Brauer:

Satz

Jeder Charakter von ist eine ganzzahlige Linearkombination von monomialen Charakteren.

Einzelnachweise
  1. Jean-Pierre Serre: Linear Representations of Finite Groups. Springer Verlag, New York 1977, ISBN 0-387-90190-6.
  2. Serge Lang: Algebra. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X, S. 663–729.
  3. Serre, op. cit.
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