Satz von Birman-Series

Der Satz v​on Birman-Series, benannt n​ach Joan Birman u​nd Caroline Series, i​st ein Lehrsatz d​er hyperbolischen Geometrie. Er besagt, dass, anders a​ls in d​er euklidischen Geometrie d​es Torus, a​uf einer hyperbolischen Fläche d​ie Geodäten n​icht dicht liegen.

Satz von Birman-Series

Es sei ${\displaystyle S}$ eine hyperbolische Fläche von endlichem Flächeninhalt, das heißt eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit mit einer riemannschen Metrik von konstanter negativer Krümmung und endlichem Flächeninhalt.

Für ${\displaystyle k\geq 0}$ sei ${\displaystyle G_{k}}$ die Menge der Geodäten von ${\displaystyle S}$ mit höchstens ${\displaystyle k}$ transversalen Selbstschnitten und ${\displaystyle S_{k}\subset S}$ die Menge der Punkte, die auf einer Geodäte in ${\displaystyle G_{k}}$ liegen.

Dann ist ${\displaystyle S_{k}}$ eine nirgends dichte Teilmenge von ${\displaystyle S}$ und sie hat die Hausdorff-Dimension 1.

Einfache geschlossene Kurven

Der Spezialfall ${\displaystyle k=0}$ besagt insbesondere, dass die einfachen geschlossenen Geodäten nirgendwo dicht liegen. Bereits dieser einfachste Fall unterscheidet hyperbolische Flächen signifikant von euklidischen: Auf einem euklidischen Torus liegt jeder Punkt auf (unendlich vielen) einfachen geschlossenen Geodäten.

Literatur

• Joan Birman, Caroline Series: Geodesics with bounded intersection number on surfaces are sparsely distributed. Topology 24 (1985), no. 2, 217–225. pdf
• Albert Fathi: Expansiveness, hyperbolicity and Hausdorff dimension. Comm. Math. Phys. 126 (1989), no. 2, 249–262.
• Jenya Sapir: Non-simple geodesics on surfaces, Stanford University 2014
• Anna Lenzhen, Juan Souto: Variations on a theorem of Birman and Series, Annales de l'Institut Fourier 68, 2018. pdf

Weblinks

• Simple Geodesics and the Birman-Series set (Bilder)