Satz von Bauer-Fike

Der Satz v​on Bauer-Fike (nach Friedrich Ludwig Bauer u​nd Charles Theodore Fike, 1960) i​st ein Satz a​us der numerischen Mathematik. Er liefert e​ine Abschätzung über d​ie Veränderung d​er Eigenwerte e​iner Matrix a​uf Grund v​on Störungen.

Sei ${\displaystyle \|\cdot \|}$ eine submultiplikative Matrixnorm, ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ eine diagonalisierbare Matrix mit den Eigenwerten ${\displaystyle \lambda _{i}}$ und ${\displaystyle \delta A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ eine Störung von ${\displaystyle A}$ . Dann hat jeder Eigenwert ${\displaystyle \lambda }$ im Spektrum von ${\displaystyle A+\delta A}$ höchstens den folgenden Abstand zum Spektrum von ${\displaystyle A}$ :

${\displaystyle \min _{i}|\lambda -\lambda _{i}|\,\leq \,\|S^{-1}\delta AS\|\,\leq \,\kappa (S)\,\|\delta A\|}$

mit der Konditionszahl ${\displaystyle \kappa (S)=\|S\|\|S^{-1}\|}$ und ${\displaystyle S=(e_{1},\dotsc ,e_{n})}$ eine Matrix, die die Eigenvektoren von ${\displaystyle A}$ als Spalten hat, d. h. ${\displaystyle S^{-1}AS=\mathrm {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$ .

Literatur

• Robert Plato: Numerische Mathematik kompakt. Grundlagenwissen für Studium und Praxis. 3. Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 2006, ISBN 978-3-8348-0277-4, Abschnitt 12.2.1, S. 312f.