Sätze von Cohen-Seidenberg

Die Sätze v​on Cohen-Seidenberg, benannt n​ach Irvin Cohen u​nd Abraham Seidenberg, s​ind zwei Sätze a​us dem mathematischen Gebiet d​er kommutativen Algebra. Sie s​ind auch a​ls Going up u​nd Going down bekannt u​nd befassen s​ich mit Primideal-Ketten i​n Ringerweiterungen.

Situation

Sei ${\displaystyle S\supset R}$ eine Ringerweiterung zweier kommutativer Ringe mit demselben Einselement. Sind ${\displaystyle P\subset S}$ und ${\displaystyle p\subset R}$ Primideale, so sagt man ${\displaystyle P}$ liege über ${\displaystyle p}$, falls ${\displaystyle p=P\cap R}$.

Ist ${\displaystyle P\subset S}$ ein Primideal, so ist ${\displaystyle p:=R\cap P}$ ein Primideal in ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle P}$ liegt über ${\displaystyle p}$. Ist ${\displaystyle S\supset R}$ eine ganze Ringerweiterung und ${\displaystyle P_{0}\subset \ldots \subset P_{n}}$ eine Primidealkette mit echten Inklusionen in ${\displaystyle S}$, so ist ${\displaystyle P_{0}\cap R\subset \ldots \subset P_{n}\cap R}$ eine Primidealkette mit echten Inklusionen in ${\displaystyle R}$. Hier gehen wir der Frage nach, ob man umgekehrt Primidealketten in ${\displaystyle R}$ zu solchen nach ${\displaystyle S}$ "heben" kann, so dass die Primideale der Kette in ${\displaystyle S}$ über denen der gegebenen Kette in ${\displaystyle R}$ liegen. Dazu muss man zunächst einmal sicherstellen, dass über den Primidealen in ${\displaystyle R}$ stets Primideale aus ${\displaystyle S}$ liegen.

Betrachtet man etwa die Ringerweiterung ${\displaystyle \mathbb {Q} \supset \mathbb {Z} }$ und ist ${\displaystyle \pi \in \mathbb {Z} }$ eine Primzahl, so ist das erzeugte Hauptideal ${\displaystyle p=(\pi )}$ ein Primideal und es gibt kein Primideal in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, das über ${\displaystyle p}$ liegt. Handelt es sich bei ${\displaystyle S\supset R}$ aber um eine ganze Ringerweiterung, so kann man zeigen, dass über jedem Primideal aus ${\displaystyle R}$ stets ein Primideal aus ${\displaystyle S}$ liegt.[1]

Ist also ${\displaystyle S\supset R}$ eine ganze Ringerweiterung und ${\displaystyle p_{0}\subset \ldots \subset p_{n}}$ eine Primidealkette in ${\displaystyle R}$, so kann man für jedes ${\displaystyle i}$ ein über ${\displaystyle p_{i}}$ liegendes Primideal ${\displaystyle P_{i}\subset S}$ finden. Es stellt sich nun die Frage, ob man die ${\displaystyle P_{i}}$ auch so wählen kann, dass sie eine aufsteigende Kette bilden. Genau diese Frage beantworten die Sätze von Cohen-Seidenberg.

Going up

Es sei ${\displaystyle S\supset R}$ eine ganze Ringerweiterung, ${\displaystyle p_{0}\subset \ldots \subset p_{n}}$ eine Primidealkette in ${\displaystyle R}$ und das Primideal ${\displaystyle P_{0}}$ liege über ${\displaystyle p_{0}}$:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}P_{0}&\\\downarrow &\\p_{0}&\subset &p_{1}&\subset &\ldots &\subset &p_{n}\,.\end{array}}}$

Dann gibt es über den ${\displaystyle p_{i}}$ liegende Primideale ${\displaystyle P_{i}}$, ${\displaystyle i>0}$, die eine aufsteigende Kette bilden:[2]

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}P_{0}&\subset &P_{1}&\subset &\ldots &\subset &P_{n}\\\downarrow &&\downarrow &&&&\downarrow \\p_{0}&\subset &p_{1}&\subset &\ldots &\subset &p_{n}\,.\end{array}}}$

Going down

Beginnt man in der Situation des Going up-Satzes statt mit einem über ${\displaystyle p_{0}}$ liegenden Primideal mit einem über ${\displaystyle p_{n}}$ liegenden, so benötigt man für eine analoge Aussage zusätzliche Voraussetzungen:

Es sei ${\displaystyle S\supset R}$ eine ganze Ringerweiterung von Integritätsringen mit normalem ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle p_{0}\subset \ldots \subset p_{n}}$ sei eine Primidealkette in ${\displaystyle R}$ und das Primideal ${\displaystyle P_{n}}$ liege über ${\displaystyle p_{n}}$:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}&&&&&&P_{n}\\&&&&&&\downarrow \\p_{0}&\subset &p_{1}&\subset &\ldots &\subset &p_{n}\,.\end{array}}}$

Dann gibt es über den ${\displaystyle p_{i}}$ liegende Primideale ${\displaystyle P_{i}}$, ${\displaystyle i<n}$, die eine aufsteigende Kette bilden:[3][4]

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}P_{0}&\subset &P_{1}&\subset &\ldots &\subset &P_{n}\\\downarrow &&\downarrow &&&&\downarrow \\p_{0}&\subset &p_{1}&\subset &\ldots &\subset &p_{n}\,.\end{array}}}$

Bedeutung

Primidealketten spielen eine wichtige Rolle bei der Berechnung der Dimension eines Ringes. Aus dem Going up-Satz ergibt sich sofort ${\displaystyle \mathrm {dim} \,R=\mathrm {dim} \,S}$ für eine ganze Ringerweiterung ${\displaystyle S\supset R}$. Der Going down-Satz kann verwendet werden, um

${\displaystyle \mathrm {dim} \,K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n}$

zu zeigen, wobei ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ der Polynomring in ${\displaystyle n}$ Unbestimmten über dem Körper ${\displaystyle K}$ ist.

Einzelnachweise

1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg, 1980, ISBN 3-528-07246-6, Satz II.2.10 a.
2. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg, 1980, ISBN 3-528-07246-6, Korollar II.2.12.
3. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg, 1980, ISBN 3-528-07246-6, Satz II.2.16.
4. Jean-Pierre Serre: Local Algebra. Springer, 2000, ISBN 3-540-66641-9, III Proposition 5.