Sätze von Cohen-Seidenberg

Die Sätze v​on Cohen-Seidenberg, benannt n​ach Irvin Cohen u​nd Abraham Seidenberg, s​ind zwei Sätze a​us dem mathematischen Gebiet d​er kommutativen Algebra. Sie s​ind auch a​ls Going up u​nd Going down bekannt u​nd befassen s​ich mit Primideal-Ketten i​n Ringerweiterungen.

Situation

Sei eine Ringerweiterung zweier kommutativer Ringe mit demselben Einselement. Sind und Primideale, so sagt man liege über , falls .

Ist ein Primideal, so ist ein Primideal in und liegt über . Ist eine ganze Ringerweiterung und eine Primidealkette mit echten Inklusionen in , so ist eine Primidealkette mit echten Inklusionen in . Hier gehen wir der Frage nach, ob man umgekehrt Primidealketten in zu solchen nach "heben" kann, so dass die Primideale der Kette in über denen der gegebenen Kette in liegen. Dazu muss man zunächst einmal sicherstellen, dass über den Primidealen in stets Primideale aus liegen.

Betrachtet man etwa die Ringerweiterung und ist eine Primzahl, so ist das erzeugte Hauptideal ein Primideal und es gibt kein Primideal in , das über liegt. Handelt es sich bei aber um eine ganze Ringerweiterung, so kann man zeigen, dass über jedem Primideal aus stets ein Primideal aus liegt.[1]

Ist also eine ganze Ringerweiterung und eine Primidealkette in , so kann man für jedes ein über liegendes Primideal finden. Es stellt sich nun die Frage, ob man die auch so wählen kann, dass sie eine aufsteigende Kette bilden. Genau diese Frage beantworten die Sätze von Cohen-Seidenberg.

Going up

Es sei eine ganze Ringerweiterung, eine Primidealkette in und das Primideal liege über :

Dann gibt es über den liegende Primideale , , die eine aufsteigende Kette bilden:[2]

Going down

Beginnt man in der Situation des Going up-Satzes statt mit einem über liegenden Primideal mit einem über liegenden, so benötigt man für eine analoge Aussage zusätzliche Voraussetzungen:

Es sei eine ganze Ringerweiterung von Integritätsringen mit normalem , sei eine Primidealkette in und das Primideal liege über :

Dann gibt es über den liegende Primideale , , die eine aufsteigende Kette bilden:[3][4]

Bedeutung

Primidealketten spielen eine wichtige Rolle bei der Berechnung der Dimension eines Ringes. Aus dem Going up-Satz ergibt sich sofort für eine ganze Ringerweiterung . Der Going down-Satz kann verwendet werden, um

zu zeigen, wobei der Polynomring in Unbestimmten über dem Körper ist.

Einzelnachweise

  1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg, 1980, ISBN 3-528-07246-6, Satz II.2.10 a.
  2. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg, 1980, ISBN 3-528-07246-6, Korollar II.2.12.
  3. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg, 1980, ISBN 3-528-07246-6, Satz II.2.16.
  4. Jean-Pierre Serre: Local Algebra. Springer, 2000, ISBN 3-540-66641-9, III Proposition 5.
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