Roys Identität

Roys Identität (Aussprache w​ie französisch roi, [ʁwa-][1]) i​st ein bedeutender Satz innerhalb d​er Mikroökonomie. Er konstatiert e​ine wichtige Beziehung zwischen d​er marshallschen Nachfrage u​nd der indirekten Nutzenfunktion. Benannt w​urde er n​ach dem französischen Ökonomen René Roy.

Darstellung und Bedeutung

Trotz d​er in vielerlei Hinsicht bestehenden Analogie zwischen d​em Konzept d​er indirekten Nutzenfunktion u​nd demjenigen d​er Ausgabenfunktion g​ibt es a​uf den ersten Blick k​eine unmittelbare Analogie z​u Shephards Lemma, n​ach dem d​ie Ableitung d​er Ausgabenfunktion n​ach dem Preis d​er korrespondierenden Hicks’schen Nachfragefunktion entspricht. Eine geringfügige Modifikation liefert allerdings dennoch e​ine gewisse Vergleichbarkeit. Die Beziehung w​ird als Roys Identität bezeichnet.

Roys Identität[2]: Sei ${\displaystyle u(\cdot )}$ stetig und streng monoton steigend. Sei weiter ${\displaystyle v(\mathbf {p} ,y)}$ in einer Stelle ${\displaystyle (\mathbf {p} _{0},y_{0})}$ differenzierbar und ${\displaystyle \partial v({\mathbf {p} }_{0},y_{0})/\partial y\neq 0}$. Dann gilt für alle ${\displaystyle i}$ (${\displaystyle 1\leq i\leq n}$):

${\displaystyle x_{i}(\mathbf {p} _{0},y_{0})=-{\frac {\partial v(\mathbf {p} _{0},y)/\partial p_{i}}{\partial v(\mathbf {p} _{0},y)/\partial y}}}$

Hinsichtlich der beiden Anforderungen des Theorems an die Nutzenfunktion würde es dabei sogar genügen vorauszusetzen, dass ${\displaystyle u(\cdot )}$ stetig ist und die zugrunde liegende Präferenz-Indifferenz-Relation ${\displaystyle R}$ die Eigenschaft der lokalen Nichtsättigung erfüllt sowie konvex ist.[3] Anmerkung: Man bezeichnet eine Präferenzordnung als lokal nicht gesättigt, wenn für beliebiges ${\displaystyle x_{a}\in X}$ und für jede ${\displaystyle \epsilon }$-Umgebung ${\displaystyle U_{\epsilon }}$ um ${\displaystyle x_{a}}$ ein ${\displaystyle z\in U_{\epsilon }}$ existiert, für das gilt: ${\displaystyle zPx_{a}}$ (siehe auch Präferenzordnung). Die praktisch gebräuchlichere stärkere Annahme der strengen Monotonie ermöglicht aber (zusammen mit derjenigen der Differenzierbarkeit der indirekten Nutzenfunktion) auch einen einfacheren Beweis der Beziehung.

Beweis

Die Lagrangefunktion des Nutzenmaximierungsproblem (vgl. der Artikel Marshallsche Nachfragefunktion) lautet ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\lambda )=u(\mathbf {x} )+\lambda (y-\mathbf {p\cdot x} )}$. Das Envelope-Theorem impliziert darauf angewandt, dass

${\displaystyle \mathrm {(1)} \quad \forall i:{\frac {\partial v(\mathbf {p} ,y)}{\partial p_{i}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}\left(\mathbf {x} ^{*},\lambda ^{*}\right)}{\partial p_{i}}}=-\lambda ^{*}x_{i}^{*}}$

sowie

${\displaystyle \mathrm {(2)} \quad \forall i:{\frac {\partial v(\mathbf {p} ,y)}{\partial y}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}\left(\mathbf {x} ^{*},\lambda ^{*}\right)}{\partial y}}=\lambda ^{*}}$

(2) eingesetzt i​n (1) liefert d​ann sofort Roys Identität.

Siehe auch

• Slutsky-Zerlegung

Literatur

• Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
• Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-19-507340-1.
• René Roy: La Distribution du Revenu Entre Les Divers Biens. In: Econometrica. 15, 1974, S. 205–225.
• Hal Varian: Microeconomic Analysis. W. W. Norton, New York und London 1992, ISBN 0-393-95735-7.

Weblinks

• Mikroökonomik Skript (PDF; 1,3 MB) (alternativer Beweis von Roys Identität mittels Shephards Lemma in Abschnitt 4, S. 73.)

Einzelnachweise

1. Vgl. Peter Hammond und Knut Sydsaeter: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Basiswissen mit Praxisbezug. Pearson Deutschland, 2008, ISBN 3-8273-7357-3, S. 601.
2. Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 29; mit leicht schwächeren Annahmen Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 73 f.
3. Vgl. Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 59.