Riemannsches Produkt

Im mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie ist das riemannsche Produkt das Produkt ${\displaystyle M\times N}$ zweier riemannscher Mannigfaltigkeiten mit der Produktmetrik.

Der 2-dimensionale Torus als Produkt zweier Kreise.

Definition

Sind ${\displaystyle (M,g)}$ und ${\displaystyle (N,h)}$ zwei riemannsche Mannigfaltigkeiten und ${\displaystyle M\times N}$ ihr kartesisches Produkt mit der Produkttopologie und den Projektionen ${\displaystyle p\colon M\times N\to M}$ und ${\displaystyle q\colon M\times N\to N}$ auf die beiden Faktoren, so definiert

${\displaystyle (g\oplus h)_{m,n}(u,v)=g_{m}(Dp(u),Dp(v))+h_{n}(Dq(u),Dq(v))}$

für ${\displaystyle m\in M,n\in N,u,v\in T_{(m,n)}(M\times N)}$ eine riemannsche Metrik ${\displaystyle g\oplus h}$ auf ${\displaystyle M\times N}$. Die Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M\times N}$ mit der riemannschen Metrik ${\displaystyle g\oplus h}$ wird als riemannsches Produkt von ${\displaystyle (M,g)}$ und ${\displaystyle (N,h)}$ bezeichnet.

Beispiele

Das Produkt zweier Kreise ist ein Torus mit einer flachen Metrik. Allgemeiner gibt es in jedem riemannschen Produkt Ebenen der Schnittkrümmung 0: Wenn ${\displaystyle k}$ eine Geodäte in ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle l}$ eine Geodäte in ${\displaystyle N}$ ist, dann ist ${\displaystyle k\times l}$ eine flache Untermannigfaltigkeit von ${\displaystyle M\times N}$.

Literatur

• W. Klingenberg: Riemannian Geometry, de Gruyter 1982; Section 1.8