Relativklassenzahl

Die Relativklassenzahl i​st ein mathematischer Begriff a​us dem Bereich d​er algebraischen Zahlentheorie.

Sei ${\displaystyle K}$ ein abelscher Zahlkörper, d. h. ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ eine endliche, galoissche Körpererweiterung mit abelscher Galoisgruppe. (Nach dem Satz von Kronecker-Weber ist ${\displaystyle K}$ Teilkörper eines Kreisteilungskörpers.) Sei nun ${\displaystyle K}$ in die komplexen Zahlen eingebettet und ${\displaystyle K^{+}:=K\cap \mathbb {R} }$ der reelle Teilkörper. Sei ${\displaystyle h}$ die Klassenzahl von ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle h^{+}}$ die von ${\displaystyle K^{+}}$. Dann ist ${\displaystyle h^{-}:={\frac {h}{h^{+}}}}$ ganzzahlig und heißt die Relativklassenzahl von ${\displaystyle K}$.

Allgemeiner ist diese Konstruktion möglich für CM-Körper, d. h. imaginärquadratische Erweiterungen total reeller Zahlkörper. Ein Zahlkörper ${\displaystyle K}$ heißt total reell, wenn das Bild jeder Einbettung ${\displaystyle K\to \mathbb {C} }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ enthalten ist. "CM" steht für complex multiplication und weist auf den Zusammenhang mit abelschen Varietäten mit komplexer Multiplikation hin.

Die Klassenzahlen d​er Kreisteilungskörper s​ind für d​ie historischen Beweisansätze d​es großen fermatschen Satzes v​on Bedeutung (vgl. Großer fermatscher Satz#Alle regulären Primzahlen s​owie reguläre Primzahl). Die Relativklassenzahl taucht i​n dem Zwischenschritt

${\displaystyle p\mid h_{p}\iff p\mid h_{p}^{-}\iff p\mid B_{j}\ {\text{für ein}}\ j=2,4,\ldots ,p-3}$

auf (vgl. Bernoulli-Zahlen).

Literatur

• Lawrence C. Washington: Introduction to cyclotomic fields (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 83). Springer, New York NY u. a. 1982, ISBN 0-387-90622-3.