Relativ innerer Punkt

Der Begriff Relativ Innerer Punkt i​st ein topologischer Begriff, d​er in d​er Mathematischen Optimierung gebraucht wird.

Definition

Es sei ${\displaystyle M}$ eine Teilmenge eines ${\displaystyle n}$ -dimensionalen reellen Vektorraums ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle \operatorname {aff} (M)}$ die affine Hülle von ${\displaystyle M}$ in ${\displaystyle V}$. Dann heißt ein Punkt ${\displaystyle x}$ aus ${\displaystyle M}$ ein relativ innerer Punkt von ${\displaystyle M}$, wenn es eine Umgebung ${\displaystyle U_{\epsilon }(x)}$ von ${\displaystyle x}$ gibt, so dass ${\displaystyle U_{\epsilon }(x)\cap \operatorname {aff} (M)\subset M}$ gilt. Die relativ inneren Punkte von ${\displaystyle M}$ sind also genau die inneren Punkte bezüglich der Unterraumtopologie von ${\displaystyle \operatorname {aff} (M)}$. Die Menge aller relativ inneren Punkte heißt das relativ Innere der Menge ${\displaystyle M}$ und wird mit ${\displaystyle \operatorname {relint} (M)}$ bezeichnet.

Unterschied zwischen innerer Punkt und relativ innerer Punkt einer Menge

Beispiele

Quader

Wir betrachten e​inen Quader i​m dreidimensionalen (reellen) Raum. Dann gilt:

• Ein Punkt im Inneren des Quaders ist relativ innerer Punkt des Vollquaders.
• Ein Punkt auf einer Seitenfläche des Quaders (nicht auf einer Kante) ist relativ innerer Punkt der betreffenden Seitenfläche, aber nicht des Vollquaders.
• Ein Punkt auf einer Kante des Quaders, der kein Eckpunkt des Quaders ist, ist relativ innerer Punkt der betreffenden Kante, aber weder einer Seitenfläche noch des Vollquaders.
• Ein Eckpunkt des Quaders ist in keiner (nichttrivialen) Teilmenge des Quaders ein relativ innerer Punkt.

Kreisscheibe

Wir betrachten e​ine abgeschlossene Kreisscheibe i​m dreidimensionalen (reellen) Raum. Dann gilt:

• Die affine Hülle der Kreisscheibe ist die Ebene im Raum, in der der Kreis liegt.
• Die Punkte der Kreislinie sind für die Kreisscheibe keine relativ inneren Punkte.
• Alle anderen Punkte der Kreisscheibe sind relativ innere Punkte.

Kurve in der Ebene

Sei ${\displaystyle C}$ eine Kurve in der Ebene. Formal: ${\displaystyle C}$ sei das Bild einer stetigen Funktion ${\displaystyle f\colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ auf einem Intervall ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$.

Ein Punkt ${\displaystyle f(t)}$ auf der Kurve, der weder ihr Anfangs- noch ihr Endpunkt ist (das heißt ${\displaystyle t}$ liegt im Inneren von ${\displaystyle I}$), ist genau dann ein relativ innerer Punkt der Kurve, wenn die Kurve in einer Umgebung von ${\displaystyle t}$ geradeaus geht. Falls die Funktion ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle t}$ zweimal differenzierbar ist, bedeutet dies, dass die Kurve dort die Krümmung 0 hat.