Affine Hülle

Affine Hülle ist ein universeller Begriff aus der mathematischen Theorie der affinen Räume. Nahe verwandt ist der Begriff der linearen Hülle. Man nennt die affine Hülle auch Verbindungsraum, vor allem dann, wenn die Teilmenge ${\displaystyle M}$ selbst eine Vereinigung von zwei oder mehr affinen Teilräumen ${\displaystyle M=U\cup V}$ ist.

Definition und Eigenschaften

Definition

Sei ${\displaystyle A}$ der zu einem ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorraum gehörende affine Raum und ${\displaystyle M\subseteq A}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle A}$. Dann ist die affine Hülle von ${\displaystyle M}$ der kleinste affine Teilraum von ${\displaystyle A}$, der die Menge ${\displaystyle M}$ ganz enthält.

Konstruktion

Mit den Bezeichnungen aus der Definition wird aus ${\displaystyle M}$ ein beliebiger Punkt ${\displaystyle P_{0}}$ gewählt. Er dient als Aufpunkt der affinen Hülle. Dann wird zur Menge der Verbindungsvektoren ${\displaystyle V(M)=\lbrace {\overrightarrow {PQ}}\mid P,Q\in M\rbrace }$ die lineare Hülle ${\displaystyle H}$ gebildet. ${\displaystyle H}$ ist die Menge aller endlichen Linearkombinationen von Elementen aus ${\displaystyle V(M)}$, also die lineare Hülle von ${\displaystyle V(M)}$ in dem Vektorraum, der zum affinen Raum ${\displaystyle A}$ gehört. Dieser Teil der Konstruktion ist ausführlicher im Artikel Lineare Hülle beschrieben. Nun ist ${\displaystyle P_{0}+H}$ die affine Hülle von ${\displaystyle M}$.

Die affine Hülle d​er leeren Menge i​st die l​eere Menge.

Eigenschaften

Die affine Hülle einer beliebigen Teilmenge ${\displaystyle M}$ eines affinen Raumes ${\displaystyle A}$

• ist eindeutig bestimmt (als konkrete Menge, nicht nur bis auf Isomorphie),
• ist ein affiner Raum mit einer Dimension zwischen −1 (leere Menge) und der Dimension des Gesamtraums,
• enthält die konvexe Hülle der Menge ${\displaystyle M}$ und ist auch deren affine Hülle, sofern ${\displaystyle A}$ ein reeller affiner Raum ist.

Die Abbildung, d​ie jeder Teilmenge e​ines affinen Raumes i​hre lineare Hülle zuordnet, i​st ein Hüllenoperator.

In der Menge ${\displaystyle T}$ der affinen Teilräume eines affinen Raumes (einschließlich der leeren Menge und des Gesamtraums) kann man die Operation „bilde die affine Hülle der Vereinigungsmenge“ als zweistellige Verknüpfung einführen, hier wird, wenn ${\displaystyle U,V\in T}$ sind, ${\displaystyle U\vee V}$ für diese affine Hülle geschrieben, sie wird dann auch als Verbindungsraum der Teilräume bezeichnet. Die dazu duale Verknüpfung ist dann die Schnittmengenbildung. Mit diesen Verknüpfungen bildet ${\displaystyle T}$ dann einen Verband.

• Für die Dimensionen des Verbindungsraumes und des Schnittes von zwei affinen Teilräumen gibt es eine Dimensionsformel, siehe dazu Affiner Unterraum.

Beispiele

• Die affine Hülle von zwei beliebigen verschiedenen Punkten im Raum ist deren Verbindungsgerade.
• Die affine Hülle von drei Punkten des Raumes ist eine Gerade, falls die drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, sonst die Ebene, auf der alle drei Punkte liegen.
• Die affine Hülle einer ebenen Figur im Raum (Dreieck, Kreis usw.) ist die Ebene, die die Figur enthält.
• Die affine Hülle der Polynommenge ${\displaystyle \lbrace 1,x^{2},x^{3}\rbrace \subseteq \mathbb {R} [x]}$ ist die Kurvenschar ${\displaystyle \lbrace 1+a(x^{2}-1)+b(x^{3}-1):a,b\in \mathbb {R} \rbrace }$. Dieses Beispiel macht deutlich, dass die affine Hülle in der Regel kein Vektorraum ist.

Siehe auch

• Lineare Hülle
• Konvexe Hülle

Literatur

• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lineare Algebra (= Lehrbuch der Mathematik für Mathematiker, Informatiker und Physiker. Band II). 2., korrigierte Auflage. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim 1990, ISBN 3-8274-0359-6 (Inhaltsverzeichnis [abgerufen am 25. Dezember 2011]).

Weblinks

• Rolf Waldi: Beschreibung von Verbindungsräumen (PDF; 60 kB) im Skript Ergänzungen zur Geometrie.