Reelle Darstellung

In d​er Mathematik s​ind reelle Darstellungen e​in Begriff d​er Darstellungstheorie m​it zahlreichen Anwendungen i​n Physik u​nd Mathematik. Er bezeichnet Darstellungen a​uf einem komplexen Vektorraum, d​ie durch Tensorieren m​it den komplexen Zahlen a​us einer Darstellung a​uf einem reellen Vektorraum entstanden sind.

Reelle Darstellungen

Falls eine Gruppe ${\displaystyle G}$ auf einem reellen Vektorraum ${\displaystyle V_{0}}$ operiert, dann heißt die korrespondierende Darstellung auf dem Vektorraum ${\displaystyle V=V_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ reell.
Der Vektorraum ${\displaystyle V=V_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ist ein komplexer Vektorraum, auch genannt die Komplexifizierung von ${\displaystyle V_{0}.}$ Diese korrespondierende Darstellung ist gegeben durch ${\displaystyle g(v_{0}\otimes z)=(g(v_{0}))\otimes z}$ für alle ${\displaystyle g\in G,v_{0}\in V_{0},z\in \mathbb {C} .}$

Reelle Charaktere

Jede reelle Darstellung ${\displaystyle \rho }$ ordnet jedem Element ${\displaystyle g}$ einer Gruppe ${\displaystyle G}$ eine reelle lineare Abbildung ${\displaystyle \rho (g)}$ zu. Daher ist der Charakter jeder reellen Darstellung reell.
Aber umgekehrt ist nicht jede Darstellung mit einem reellen Charakter reell. So ist die Spur jedes Elements der Gruppe

${\displaystyle {\text{SU}}(2)=\{{\begin{pmatrix}a&b\\-{\overline {b}}&{\overline {a}}\end{pmatrix}}:\,\,|a|^{2}+|b|^{2}=1\}}$

reell. Also ist der Charakter der Selbstdarstellung ${\displaystyle \rho (g)=g}$ reell. Aber in keiner Basis sind alle Elemente von ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ reelle ${\displaystyle 2\times 2}$ Matrizen.

Charakterisierung reeller Darstellungen

Eine irreduzible Darstellung von ${\displaystyle G}$ auf einem Vektorraum über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ kann bei Ausdehnung des Grundkörpers auf ${\displaystyle \mathbb {C} }$ reduzibel werden. Ein Beispiel ist die irreduzible Darstellung der zyklischen Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ gegeben durch

${\displaystyle k\mapsto {\begin{pmatrix}{\text{cos}}({\frac {2\pi ik}{m}})&{\text{sin}}({\frac {2\pi ik}{m}})\\-{\text{sin}}({\frac {2\pi ik}{m}})&{\text{cos}}({\frac {2\pi ik}{m}})\end{pmatrix}},}$

die über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ reduzibel wird.
Das bedeutet, dass man durch die Klassifikation aller irreduziblen Darstellungen über ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ die reell sind, noch nicht alle irreduziblen reellen Darstellungen klassifiziert hat.
Man erhält jedoch folgendes:
Sei ${\displaystyle V_{0}}$ ein reeller Vektorraum, auf dem ${\displaystyle G}$ irreduzibel operiert, ${\displaystyle V=V_{0}\otimes \mathbb {C} }$ die korrespondierende reelle Darstellung von ${\displaystyle G.}$ Falls der Darstellungsraum ${\displaystyle V}$ nicht irreduzibel ist, hat er genau zwei irreduzible Faktoren und diese sind konjugierte komplexe Darstellungen von ${\displaystyle G.}$

Für Beweise und mehr Informationen zu Darstellungen über allgemeinen Unterkörpern von ${\displaystyle \mathbb {C} }$ siehe [1].

Beispiel

Sei ${\displaystyle G}$ die zyklische Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$, also die Menge ${\displaystyle \{0,1,2\}}$ mit der Addition modulo ${\displaystyle 3}$ als Gruppenverknüpfung.

Eine reelle Darstellung dieser Gruppe erhält man, indem man der ${\displaystyle 1}$ die Drehung der reellen Ebene um 120 Grad zuordnet, also

${\displaystyle \rho (1)=\left({\begin{array}{cc}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\\-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&-{\frac {1}{2}}\end{array}}\right).}$

Die entsprechende Darstellung auf ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ist reduzibel, denn komplexe irreduzible Darstellungen abelscher Gruppen sind stets eindimensional. Die Darstellung auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ hingegen ist irreduzibel, denn eindimensionale Unterräume von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, das sind die Geraden durch den Nullpunkt, können bei einer Drehung um 120 Grad nicht in sich überführt werden.

Siehe auch

• Quaternionische Darstellung

Literatur

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. 129. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97495-8 ISBN 978-0-387-97527-6

Weblinks

• Ganev: Real and quaternionic representations of finite groups

Einzelnachweise

1. Fulton-Harris, op. cit.