Ramanujan-Thetafunktion

Die Ramanujan-Thetafunktion n​ach S. Ramanujan i​st durch

${\displaystyle f(a,b)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n(n+1)/2}\;b^{n(n-1)/2}}$

mit ${\displaystyle |ab|<1}$ gegeben.

Es gilt ${\displaystyle f(a,b)=f(b,a)}$ (die Funktion ist symmetrisch in den beiden Variablen). Für die ersten Terme ergibt sich:

${\displaystyle f(a,b)=1+a+b+ab(a^{2}+b^{2})+{(ab)}^{3}(a^{3}+b^{3})+{(ab)}^{6}(a^{4}+b^{4})+\cdot \cdot \cdot }$

Mit dem q-Pochhammer-Symbol ${\displaystyle (a;q)_{n}}$ drückt sich die Ramanujansche Thetafunktion so aus:

${\displaystyle f(a,b)=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }=\prod _{m=0}^{\infty }\left(1+a(ab)^{m}\right)\,\left(1+b(ab)^{m}\right)\,\left(1-(ab)^{m+1}\right)}$

was äquivalent z​um Jacobi-Tripelprodukt ist. Für d​en Spezialfall

${\displaystyle f(-q,-q^{2})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2}=(q;q)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})}$

ergibt sich aus dem Jacobi-Tripelprodukt der Pentagonalzahlensatz. Manchmal wird ${\displaystyle f(-q,-q^{2})=f(-q)}$ geschrieben. Die Funktion ist eng mit der Dedekindschen η-Funktion verbunden und ihr Kehrwert die erzeugende Funktion für Partitionen.

Weitere Spezialfälle sind die Ramanujansche ${\displaystyle \varphi }$-Funktion:

${\displaystyle \varphi (q)=\vartheta _{00}(q)=f(q,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {(-q;q^{2})_{\infty }(q^{2};q^{2})_{\infty }}{(-q^{2};q^{2})_{\infty }(q;q^{2})_{\infty }}}={\frac {(-q;-q)_{\infty }}{(q;-q)_{\infty }}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+2q^{25}+....}$

und Ramanujans ${\displaystyle \psi }$-Funktion:

${\displaystyle \psi (q)=f(q,q^{3})=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)/2}={\frac {(q^{2};q^{2})_{\infty }}{(q;q^{2})_{\infty }}}}$

Mit ϑ₀₀ w​ird die Hauptfunktion u​nter den Jacobischen Thetafunktionen bezeichnet.

Die Jacobische Thetafunktion ergibt s​ich als:

${\displaystyle \vartheta (w,q)=f(qw^{2},qw^{-2})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\,w^{2n}}$

mit ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$, ${\displaystyle w=e^{\pi iz}}$, so dass sich die übliche Darstellung ergibt:

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi in^{2}\tau +2\pi inz)}$

Weblinks

• Ramanujan Theta Function, Mathworld