Quasikohärente Garbe

In d​er Mathematik i​st eine quasikohärente Garbe e​ine Garbe v​on Moduln über d​er Strukturgarbe e​ines geringten Raumes, d​ie lokal präsentierbar, d. h. l​okal der Kokern e​ines Morphismus freier Moduln ist.

Quasikohärente Garben können als eine Verallgemeinerung von Vektorbündeln gesehen werden, denn nach dem Satz von Serre und Swan entsprechen Vektorbündel über einem geringten Raum ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ den lokal freien, projektiven Moduln über der Strukturgarbe. Im Unterschied zur Kategorie der Vektorbündel über ${\displaystyle X}$ ist die Kategorie der quasikohärenten Garben von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-Moduln eine abelsche Kategorie, die unter natürlichen Operationen wie Bild und Kern von Morphismen abgeschlossen ist.

Definition

Sei ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ein geringter Raum. Eine quasikohärente Garbe von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-Moduln ist eine Garbe ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-Moduln, die lokal der Kokern eines Morphismus freier Moduln ist, d. h. es gibt eine Überdeckung ${\displaystyle \left\{U_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}}$ durch offene Teilmengen von ${\displaystyle X}$, so dass es für jeden Index ${\displaystyle \alpha }$ Kardinalitäten ${\displaystyle I_{\alpha },J_{\alpha }}$ und eine exakte Sequenz

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{I_{\alpha }}\mid _{U_{\alpha }}\to {\mathcal {O}}_{X}^{J_{\alpha }}\mid _{U_{\alpha }}\to {\mathcal {E}}\mid _{U_{\alpha }}\to 0}$

gibt.

Kohärente Garben sind diejenigen quasikohärenten Garben von endlichem Typ, für die ${\displaystyle I_{\alpha }}$ und ${\displaystyle J_{\alpha }}$ endlich sind.

Weblinks

• quasicoherent sheaf (nLab)