Pseudo-Isotopie

In d​er Mathematik i​st Pseudo-Isotopie e​ine Verallgemeinerung d​es Begriffs d​er Isotopie.

Verschiedene Probleme d​er Differentialtopologie lassen s​ich auf d​ie Frage zurückführen, o​b pseudo-isotope Abbildungen a​uch isotop sind.

Definition

Zwei Diffeomorphismen

${\displaystyle f_{0},f_{1}\colon M\to M}$

einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit heißen pseudo-isotop, w​enn es e​inen Diffeomorphismus

${\displaystyle F\colon M\times \left[0,1\right]\to M\times \left[0,1\right]}$

gibt, dessen Einschränkung auf ${\displaystyle M\times \left\{0\right\}}$ bzw. ${\displaystyle M\times \left\{1\right\}}$ mit ${\displaystyle f_{0}}$ bzw. ${\displaystyle f_{1}}$ übereinstimmt.

Eine Pseudo-Isotopie ist eine Isotopie, wenn ${\displaystyle F}$ für alle ${\displaystyle t\in \left[0,1\right]}$ die Niveaumenge ${\displaystyle M\times \left\{t\right\}}$ auf sich abbildet.

Cerf's Pseudoisotopy Theorem

Cerf's Pseudoisotopy Theorem i​st eine Verallgemeinerung d​es h-Kobordismus-Satzes.

Es besagt, dass für alle einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten der Dimension ${\displaystyle n\geq 5}$ zwei pseudo-isotope Abbildungen ${\displaystyle f_{0},f_{1}}$ stets auch isotop sind.

Für n​icht einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten g​ibt es hingegen Obstruktionen i​n der algebraischen K-Theorie.

Anwendung

Aus dem Pseudoisotopy Theorem folgt, dass es für ${\displaystyle n\geq 5}$ eine Bijektion zwischen den exotischen Sphären in Dimension ${\displaystyle n+1}$ und den Zusammenhangskomponenten der Diffeomorphismengruppe der ${\displaystyle S^{n}}$ gibt.

Literatur

• Jean Cerf: La stratification naturelle des espaces de fonctions differentiables réelles et le théoreme de la pseudo-isotopie. Publ. IHES 39, 5–173 (1970).