Primäres Ideal

In d​er kommutativen Algebra i​st ein primäres Ideal o​der Primärideal e​ine Verallgemeinerung e​iner Primzahlpotenz, g​enau wie e​in Primideal e​ine Verallgemeinerung e​iner Primzahl ist. Primäre Ideale spielen e​ine wichtige Rolle i​n der Primärzerlegung v​on Moduln.

Dieser Artikel beschäftigt s​ich mit kommutativer Algebra. Insbesondere s​ind alle betrachteten Ringe kommutativ u​nd haben e​in Einselement. Für weitere Details s​iehe Kommutative Algebra.

Definitionen

Primärer Modul

Ein Untermodul ${\displaystyle U}$ eines Moduls ${\displaystyle M}$ über einem Ring ${\displaystyle R}$ ist ein primärer Untermodul, wenn ${\textstyle M/U}$ nur ein assoziiertes Primideal besitzt. Das ist äquivalent damit, dass für alle ${\displaystyle r\in R}$ die Abbildung:

${\displaystyle h_{r}\colon M/U\to M/U}$

${\displaystyle h_{r}\colon m\mapsto r*m}$

entweder injektiv o​der nilpotent ist.

Ist ${\displaystyle p}$ das assoziierte Primideal, so wird ${\displaystyle U}$ auch als ${\displaystyle p}$-primärer Untermodul bezeichnet.

Primäres Ideal

Ein Ideal ${\displaystyle p}$ eines Ringes ${\displaystyle R}$ ist ein primäres Ideal, wenn es als Untermodul von ${\displaystyle R}$ ein primärer Untermodul ist. Das ist äquivalent dazu, dass jeder Nullteiler von ${\displaystyle R/p}$ nilpotent ist.

Durch Elemente aus ${\displaystyle R}$ ausgedrückt bedeutet das: Ein Ideal ${\displaystyle p\subset R}$ is primär, wenn ${\displaystyle \forall r,s\in R:(rs\in p\rightarrow r\in p{\text{ oder }}\exists m>0:s^{m}\in p)}$.

Eigenschaften

Ist ${\displaystyle M}$ ein ${\displaystyle R}$-Modul, so gilt:

• Jedes Primideal ist ein primäres Ideal.
• Wenn ein Ideal ${\displaystyle q\ p}$-primär ist, dann gibt es ein ${\displaystyle n}$, sodass ${\displaystyle p^{n}\subset q\subset p}$ ist.
• Die Umkehrung des letzten Satzes ist falsch. Ist aber ${\displaystyle m}$ ein maximales Ideal eines noetherschen Ringes, so ist ein Ideal ${\displaystyle q}$ genau dann ${\displaystyle m}$-primär, wenn es ein ${\displaystyle n}$ gibt, sodass ${\displaystyle m^{n}\subset q\subset m}$ ist.
• Wenn ${\displaystyle R}$ noethersch ist, so ist der Durchschnitt endlich vieler ${\displaystyle p}$-primärer Untermoduln von ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$-primär.
• Wenn ${\displaystyle R}$ noethersch ist und ${\displaystyle Q}$ ein irreduzibler echter Untermodul von ${\displaystyle R}$ ist, dann ist ${\displaystyle Q}$ primär.

Literatur

• Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969), ISBN 0-2010-0361-9
• Brüske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut (1989), ISBN 978-3411140411
• Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6