Potenzial (Spieltheorie)

Ein Ordnungspotenzial o​der eine Ordnungspotenzialfunktion i​st in d​er Spieltheorie e​ine spezielle Funktion a​uf der Menge d​er Strategiekombinationen e​ines Spiels. Durch d​iese Funktion werden d​ie Strategiekombination n​ach ihrer Auszahlung a​n die Spieler angeordnet. Eine Strategiekombination besitzt d​abei genau d​ann einen höheren Wert, w​enn sie für j​eden Spieler z​u einer höheren Auszahlung führt. Indem m​an Ordnungspotenzialfunktion strenger a​n die Auszahlungsfunktionen bindet, erhält m​an die Spezialfälle d​es gewichteten Potenzials u​nd des exakten Potenzials. Letzteres w​ird auch einfach n​ur als Potenzial o​der Potenzialfunktion bezeichnet.

Die meisten Spiele besitzen allerdings k​ein Ordnungpotenzial. Von Dov Monderer wurden deshalb 1988 bzw. 1996 d​ie folgenden Klassen v​on Spielen eingeführt:[1]

• Spiel mit Ordnungspotenzial
• Spiel mit gewichtetem Potenzial
• Spiel mit (exaktem) Potenzial

Eine Potenzialfunktion w​urde bei Spielen erstmals 1973 v​on Robert W. Rosenthal eingesetzt, u​m zu zeigen, d​ass Auslastungsspiele e​in Nash-Gleichgewicht i​n reinen Strategien besitzen.[2]

Definition

Bei allen drei Definitionen sei ${\displaystyle \Gamma =(N,\Sigma ,u)}$ ein Spiel in Normalform. Weiter sei ${\displaystyle \sigma \in \Sigma }$ ein beliebiges aber festes Strategieprofil und ${\displaystyle \sigma ':=(\sigma ^{-i},\sigma _{i}')}$ das Profil, das durch den Wechsel der Strategie eines Spielers ${\displaystyle i\in N}$ von ${\displaystyle \sigma _{i}}$ zu ${\displaystyle \sigma _{i}'}$ entsteht.

Ordnungspotenzial

Eine Ordnungspotenzialfunktion ${\displaystyle P}$ ist eine Funktion ${\displaystyle P:\Sigma \rightarrow \mathbb {R} }$, für die gilt, dass

${\displaystyle u_{i}(\sigma ')-u_{i}(\sigma )>0\quad \Leftrightarrow \quad P(\sigma ')-P(\sigma )>0}$

Gewichtetes Potenzial

Eine gewichtete Potenzialfunktion ${\displaystyle P}$ ist eine Funktion ${\displaystyle P:\Sigma \rightarrow \mathbb {R} }$ bei der für jeden Spieler ${\displaystyle i\in N}$ eine Zahl ${\displaystyle w_{i}>0}$ existiert, sodass stets gilt, dass

${\displaystyle u_{i}(\sigma ')-u_{i}(\sigma )=w_{i}\cdot (P(\sigma ')-P(\sigma ))}$

In diesem Fall nennt man ${\displaystyle \Gamma }$ ein gewichtetes Potenzialspiel. Die Gewichte ${\displaystyle w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n}}$ bilden einen Vektor ${\displaystyle w}$. Kennt man diese Zahlen, so nennt man ${\displaystyle P}$ ein ${\displaystyle w}$-Potenzial und spricht von einem Spiel mit ${\displaystyle w}$-Potenzial.

Exaktes Potenzial

Eine (exakte) Potenzialfunktion ${\displaystyle P}$ ist eine Funktion ${\displaystyle P:\Sigma \rightarrow \mathbb {R} }$ für die gilt, dass

${\displaystyle u_{i}(\sigma ')-u_{i}(\sigma )=P(\sigma ')-P(\sigma )}$

Die exakte Potenzialfunktion ist also ein Spezialfall einer gewichteten Potenzialfunktion, bei der alle Gewichte ${\displaystyle w_{i}=1}$ sind. Es gilt, dass jedes Auslastungsspiel eine exakte Potentialfunktion hat, umgekehrt ist jedes endliche Spiel, welches eine exakte Potentialfunktion besitzt, isomorph zu einem Auslastungsspiel.[1]

Eigenschaften

Jedes endliche Spiel m​it Ordnungspotenzial besitzt e​in Nash-Gleichgewicht i​n reinen Strategien.

Zwei Potenzialfunktionen ${\displaystyle P_{1}}$ und ${\displaystyle P_{2}}$ eines Spiels unterscheiden sich nur durch eine Konstante:

${\displaystyle P_{1}(\sigma )=P_{2}(\sigma )+c}$

Das bedeutet, dass für zwei Strategiekombinationen ${\displaystyle \sigma ^{*}}$ und ${\displaystyle \sigma ^{**}}$ gilt

${\displaystyle P_{1}(\sigma ^{*})-P_{1}(\sigma ^{**})=P_{2}(\sigma ^{*})-P_{2}(\sigma ^{**})}$

Quellen

1. Dov Monderer, Lloyd S. Shapley: Potential Games. In: Games and Economic Behavior 14, 1996, S. 124–143. doi:10.1006/game.1996.0044.
2. Robert W. Rosenthal: A Class of Games Possessing Pure-Strategy Nash Equilibria. In: International Journal of Game Theory. Nr. 2, 1973, S. 65–67. doi:10.1007/BF01737559.