Posynomialfunktion

Eine Posynomialfunktion (auch Posinomialfunktion geschrieben) u​nd die d​amit eng verbundene Monomialfunktion s​ind Funktionen, d​ie bei d​er Formulierung v​on geometrischen Programmen verwendet werden. Sie lassen s​ich als Verallgemeinerung v​on Polynomfunktionen i​n mehreren Variablen auffassen, d​a beliebige reelle Exponenten zugelassen sind.

Definition

Sei ${\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{n}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,x_{i}>0}$ für ${\displaystyle i=1,\dots ,n\}}$ sowie ${\displaystyle c_{k}>0}$ für ${\displaystyle k=1,\dots ,N}$. Dann heißt die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{++}^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{N}c_{k}x_{1}^{a_{1,k}}\cdot \dots \cdot x_{n}^{a_{n,k}}}$

eine Posynomialfunktion. Dabei sind alle ${\displaystyle a_{i,j}\in \mathbb {R} }$. Besteht die Summe aus nur einem Summenglied, so spricht man von einer Monomialfunktion.

Beispiel

Die Funktion

${\displaystyle f(x_{1},x_{2})={\frac {{\sqrt {x_{1}}}x_{2}+x_{2}^{2{,}3}}{x_{1}x_{2}}}}$

ist e​ine Posynomialfunktion, s​ie besitzt d​ie Normaldarstellung

${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{-0{,}5}+x_{1}^{-1}x_{2}^{1{,}3}}$

Die Funktion

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {x_{1}^{17}x_{2}}{x_{3}^{\sqrt {2}}}}}$

ist e​ine Monomialfunktion, s​ie besitzt d​ie Normaldarstellung

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{17}x_{2}x_{3}^{-{\sqrt {2}}}}$

Eigenschaften

• Posynomialfunktionen sind abgeschlossen unter Addition, Multiplikation und der Multiplikation mit positiven Skalaren.
• Monomialfunktionen sind abgeschlossen unter Multiplikation, Division und positiver Skalierung.
• Die Posynomialfunktionen bilden also insbesondere einen konvexen Kegel im Vektorraum aller Funktionen ${\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{n}\to \mathbb {R} }$, die Monomialfunktionen immerhin noch einen (punktierten) linearen Unterkegel.

Literatur

• Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. (online)