Positive Operator Valued Probability Measure

Positive Operator Valued (Probability) Measure, abgekürzt a​ls POVM, i​st eine Beschreibung d​es quantenmechanischen Messprozesses i​n der Physik. Mathematisch gesehen i​st ein POVM e​ine Art Wahrscheinlichkeitsmaß, dessen Werte positive Operatoren s​tatt positiver Zahlen sind.

Definition

Ein POVM auf einem Messraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ ist eine Abbildung ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {A}}\to B({\mathcal {H}})}$ mit Werten in der Menge der beschränkten linearen Operatoren eines Hilbertraumes ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, die folgenden drei Bedingungen genügt:

• Für alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ gilt ${\displaystyle 0\leq \mu (A)\leq \operatorname {id} _{\mathcal {H}}}$ (hier bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {H}}}$ die identische Abbildung auf dem Hilbertraum). Das heißt, ${\displaystyle \mu (A)}$ ist positiv und daher auch selbstadjungiert.
• ${\displaystyle \mu (\Omega )=\operatorname {id} _{\mathcal {H}}}$.
• Für jede Folge paarweise disjunkter Mengen ${\displaystyle (A_{n}\in {\mathcal {A}})_{n\in \mathbb {N} }}$ gilt

${\displaystyle \mu {\bigg (}\biguplus _{n=1}^{\infty }A_{n}{\bigg )}=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}),}$

wobei die unendliche Reihe im Sinne der starken Operatortopologie konvergiert.

Erläuterungen

Die Definition e​ines POVM s​teht in Analogie z​u den Kolmogorow-Axiomen d​er Wahrscheinlichkeitstheorie, w​obei die Wahrscheinlichkeit d​urch einen positiven Operator s​tatt durch e​ine positive reelle Zahl beschrieben wird. POVM verallgemeinern d​en Begriff d​es Spektralmaßes, d​er in d​er Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren auftritt.

Verwendung in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik treten POVM zur Beschreibung von allgemeineren Messungen auf. Hier hat man meistens eine diskrete Menge von sogenannten Effekten ${\displaystyle {E}_{i}}$, die folgendes erfüllen:

• ${\displaystyle 0\leq E_{i}\leq I}$, hier ist ${\displaystyle I}$ die Einheitsmatrix. Insbesondere sind die ${\displaystyle E_{i}}$ positiv semidefinit.
• ${\displaystyle \sum _{i}E_{i}=I}$

Die ${\displaystyle E_{i}}$ beschreiben die verschiedenen Messergebnisse: Wenn das System im Zustand ${\displaystyle \rho }$ ist, ist die Wahrscheinlichkeit des Messresultats ${\displaystyle i}$ gegeben durch ${\displaystyle p_{i}=\operatorname {Tr} (\rho {E}_{i})}$.

Dieser Ansatz ist allgemeiner als der einer Von-Neumann-Messung (sog. projektive Messung), bei einer solchen sind die ${\displaystyle E_{i}=|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$ Projektoren auf die Eigenvektoren der gemessenen Observablen. Man kann jedoch jedes POVM als eine Von-Neumann-Messung auf einem erweiterten System (Originalsystem + Hilfssystem) auffassen.

Insbesondere für d​ie Quanteninformationstheorie s​ind POVM b​ei der Zustandsunterscheidung nichtorthogonaler Zustände o​der bei Abhörstrategien i​n der Quantenkryptographie relevant.

Literatur

• Diane Martinez, Jody Trout: Asymptotic Spectral Measures, Quantum Mechanics, and E-theory. In: Communications in Mathematical Physics. Band 226, Nr. 1, 2002, S. 41–60, arxiv:math/0107091.