Niven-Konstante

Die Niven-Konstante, benannt nach dem kanadisch-amerikanischen Mathematiker Ivan M. Niven, ist eine mathematische Konstante aus der Zahlentheorie. Sie ist definiert als der Grenzwert des arithmetischen Mittels der maximalen Exponenten der Primfaktorzerlegungen der ersten ${\displaystyle n}$ natürlichen Zahlen für ${\displaystyle n\to \infty }$.

Definition

Es sei ${\displaystyle m>1}$ eine ganze Zahl mit der Primfaktorzerlegung ${\displaystyle m=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$ mit ${\displaystyle a_{i}>0}$ und ${\displaystyle p_{i}\neq p_{j}}$ für ${\displaystyle i\neq j}$, außerdem ${\displaystyle H\left(1\right)=1}$ und ${\displaystyle H(m)=\max\{a_{1},...,a_{k}\}}$ das Maximum der Exponenten in der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle m}$ (Folge A051903 in OEIS), zum Beispiel sind die Zahlen ${\displaystyle m}$ mit ${\displaystyle H(m)=1}$ genau die quadratfreien Zahlen. Damit ist die Niven-Konstante definiert als

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}H(j).}$

Eigenschaften

Die Niven-Konstante lässt sich durch die Riemannsche Zetafunktion ${\displaystyle \zeta \left(k\right)}$ ausdrücken und auf diesem Wege näherungsweise berechnen (Niven 1969):[1]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}H(j)=1+\sum _{k=2}^{\infty }{\biggl (}1-{\frac {1}{\zeta (k)}}{\biggr )}}$ ${\displaystyle =1{,}70521{\text{ }}11401{\text{ }}05367{\text{ }}76428{\text{ }}85514{\text{ }}53434{\text{ }}50816{\text{ }}07620{\text{ }}27651{\text{ }}65346{\text{ }}...}$ (Folge A033150 in OEIS)

Für d​as asymptotische Verhalten d​er Minima d​er Exponenten bewies Niven a​uf Anregung v​on Erdős

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}h(j)=n+{\frac {\zeta ({\tfrac {3}{2}})}{\zeta (3)}}{\sqrt {n}}+o({\sqrt {n}}),}$

wobei ${\displaystyle h\left(1\right)=1}$ und ${\displaystyle h(m)=\min\{a_{1},...,a_{k}\}}$ das Minimum der Exponenten in der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle m}$ (Folge A051904 in OEIS) und ${\displaystyle o}$ ein Landau-Symbol ist. Somit ist insbesondere

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}h(j)=1.}$

Literatur

• Steven R. Finch: Niven’s constant. Kapitel 2.6 in Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 112–115 (englisch)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Niven’s Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A033151 in OEIS (Kettenbruchentwicklung der Niven-Konstante)

Einzelnachweise

1. Ivan Niven: Averages of exponents in factoring integers. (18. Juni 1968), Proceedings of the AMS 22, 1969, S. 356–360 (englisch)