Nöbeling-Raum

Der Nöbeling-Raum i​st eine Konstruktion a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Topologie. Er i​st der universelle separable metrische Raum.

Er i​st nach Georg Nöbeling benannt.

Konstruktion

Der m-dimensionale Nöbeling-Raum ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{m}^{2m+1}\subset \mathbb {R} ^{2m+1}}$ ist die Menge aller Punkte mit höchstens ${\displaystyle m}$ rationalen Koordinaten:

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{m}^{2m+1}:=\left\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2m+1})\in \mathbb {R} ^{2m+1}\colon {\text{Es gibt }}\ 1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{m+1}\leq 2m+1\ {\text{ mit }}x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots ,x_{i_{m+1}}\not \in \mathbb {Q} \right\}}$.

Universalität

Der m-dimensionale Nöbeling-Raum ist der universelle m-dimensionale separable metrische Raum, d. h. jeder m-dimensionale separable metrische Raum lässt sich in ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{m}^{2m+1}}$ einbetten.

Eigenschaften

Der m-dimensionale Nöbeling-Raum i​st (m-1)-zusammenhängend u​nd (m-1)-lokal zusammenhängend. Das bedeutet

• ${\displaystyle \pi _{i}({\mathcal {R}}_{m}^{2m+1})=0}$ für ${\displaystyle i\leq m-1}$, und
• für jede Umgebung ${\displaystyle U}$ eines Punktes ${\displaystyle x\in {\mathcal {R}}_{m}^{2m+1}}$ gibt es eine Umgebung ${\displaystyle x\in V\subset U}$ mit ${\displaystyle \pi _{i}(V)=0}$ für ${\displaystyle i\leq m-1}$.

Starrheit

Jeder m-dimensionale zusammenhängende Raum, der lokal zu ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{m}^{2m+1}}$ homöomorph ist (d. h. zu jedem Punkt gibt es eine zu einer offenen Teilmenge von ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{m}^{2m+1}}$ homöomorphe Umgebung), ist bereits zu ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{m}^{2m+1}}$ homöomorph.

Charakterisierung

Ein topologischer Raum X i​st zum m-dimensionalen Nöbeling-Raum homöomorph, w​enn er d​ie folgenden Eigenschaften besitzt:

• X ist separabel.
• X hat eine vollständige Metrik.
• X ist m-dimensional.
• X ist (m-1)-zusammenhängend.
• X ist (m-1)-lokal zusammenhängend.
• X erfüllt die Lokalendliche-m-Scheiben-Eigenschaft, d. h. zu jeder offenen Überdeckung ${\displaystyle X=\cup U_{i}}$ und jeder Folge ${\displaystyle f_{n}\colon D^{m}\to X}$ gibt es eine Folge ${\displaystyle g_{n}\colon D^{m}\to X}$, so dass es zu jedem ${\displaystyle x\in X}$ eine Umgebung ${\displaystyle U_{i}}$ mit ${\displaystyle U_{i}\cap g_{n}(D^{m})=\emptyset }$ für fast alle ${\displaystyle n}$ gibt und dass es zu jedem ${\displaystyle t\in D^{m}}$ ein ${\displaystyle U_{i}}$ mit ${\displaystyle f_{n}(t)\in U_{i},g_{n}(t)\in U_{i}}$ gibt.

Literatur

• Andrzej Nagórko: Characterization and topological rigidity of Nobeling manifolds (= Memoirs of the American Mathematical Society. 1048 = 223, 2). American Mathematical Society, Providence RI 2013, ISBN 978-0-8218-5366-5, arxiv:math.GT/0602574 (Dissertation).