Multivariate Verteilungsfunktion

Eine multivariate Verteilungsfunktion ist eine reellwertige Funktion in der Stochastik, die zur Untersuchung von multivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen und der Verteilung von Zufallsvektoren herangezogen wird. Sie ist das höherdimensionale Pendant der univariaten Verteilungsfunktion und erlangt wie diese ihre Bedeutung dadurch, dass sich nach dem Korrespondenzsatz die multivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen eindeutig durch ihre multivariate Verteilungsfunktion charakterisieren lassen. Damit lässt sich die Untersuchung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit maßtheoretischen Methoden auf die leichter zugängliche Untersuchung von reellwertigen Funktionen mit Methoden der mehrdimensionalen reellen Analysis reduzieren.

Neben der Bezeichnung als multivariate Verteilungsfunktion findet sich auch n-dimensionale Verteilungsfunktion,[1] bzw. Verteilungsfunktion auf als Bezeichnung oder aber zur besseren Abgrenzung von dem verwandten maßtheoretischen Konzept der mehrdimensionalen Verteilungsfunktion die Bezeichnung mehrdimensionale Verteilungsfunktion im engeren Sinn (i. e. S.).[2]

Notationen

Für Vektoren aus sind die Vergleichsoperationen komponentenweise zu verstehen, also

genau dann wenn für alle .

Des Weiteren sei für

beziehungsweise über die Komponenten definiert

Definition

Mit den obigen Notationen überträgt sich die Definition der multivariaten Verteilungsfunktion im Wesentlichen direkt von der univariaten Verteilungsfunktion.

Ist eine multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung, also ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf , so heißt die Funktion

definiert durch

die multivariate Verteilungsfunktion von .

Ist ein -dimensionaler Zufallsvektor, so heißt

definiert durch

die multivariate Verteilungsfunktion von . Die multivariate Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors ist somit genau die multivariate Verteilungsfunktion der Verteilung des Zufallsvektors.

Gängig ist auch die komponentenweise Definition als

,

wobei ist. Somit ist die multivariate Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors genau die gemeinsame Verteilungsfunktion der Komponenten.

Eigenschaften

Für jede Verteilungsfunktion gilt:

  • Sie ist in jeder ihrer Variablen rechtsseitig stetig
  • Sie ist rechtecksmonoton, das heißt, dass aus immer folgt. Zur Schreibweise siehe Differenz-Operator.
  • Für die Grenzwerte gilt
und

Umgekehrt gilt nach der multivariaten Version des Korrespondenzsatzes, dass jede Funktion, welche die obigen Bedingungen erfüllt, Verteilungsfunktion eines eindeutig bestimmten multivariaten Wahrscheinlichkeitsmaßes ist.

Literatur

  • David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.
  • Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.
  • Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.

Einzelnachweise

  1. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 107.
  2. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 74–75.
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