Differenz-Operator

Ein Differenz-Operator i​st in d​er Mathematik e​in Operator, m​it dem d​ie Differenz e​iner Funktion i​n mehreren Variablen verallgemeinert wird. Dadurch lassen s​ich beispielsweise Eigenschaften w​ie die Monotonie e​iner reellen Funktion e​iner Variable a​uf Funktionen mehrerer Variablen verallgemeinern. Ein anderes Anwendungsgebiet v​on Differenz-Operatoren i​st die Stochastik u​nd Maßtheorie, w​o mit i​hrer Hilfe abstrakte Volumenbegriffe definiert werden.

Definition

Gegeben s​ei eine reellwertige Funktion mehrerer reeller Variablen

${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

Dann ist der Differenzenoperator für ${\displaystyle a^{1}=(a_{1}^{1},\dots ,a_{n}^{1}),a^{2}=(a_{1}^{2},\dots ,a_{n}^{2})}$ definiert als

${\displaystyle \Delta _{a^{1}}^{a^{2}}F:=\sum _{i_{1},\dots ,i_{n}\in \{1,2\}}(-1)^{i_{1}+\dots +i_{n}}F(a_{1}^{i_{1}},\dots ,a_{n}^{i_{n}})}$

und die Differenzenbildung in der ${\displaystyle \nu }$-ten Komponente als

${\displaystyle {}_{\nu }\Delta _{\alpha }^{\beta }F:=F(x_{1},\dots ,x_{\nu -1},\beta ,x_{\nu +1},\dots ,x_{n})-F(x_{1},\dots ,x_{\nu -1},\alpha ,x_{\nu +1},\dots ,x_{n})}$.

Erläuterung

Durch Austausch der einzelnen Komponenten wird von den beiden Vektoren ein Quader im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle 2^{n}}$ Ecken erzeugt. Die Funktionswerte an diesen Ecken werden dann noch in Abhängigkeit von Ursprungsvektor der Komponenten mit einem Vorzeichen versehen und dann addiert, beispielsweise für ${\displaystyle n=2}$:

${\displaystyle \Delta _{a^{1}}^{a^{2}}F=F(a_{1}^{2},a_{2}^{2})-F(a_{1}^{1},a_{2}^{2})-F(a_{1}^{2},a_{2}^{1})+F(a_{1}^{1},a_{2}^{1})}$.

Die Differenzbildung in der ${\displaystyle \nu }$-ten Komponente ist zwar konstant im ${\displaystyle \nu }$-ten Eintrag, wird aber meist immer noch als Funktion auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ aufgefasst, um das weitere Anwenden von Differenzoperatoren zu ermöglichen.

Eigenschaften

Der Differenzen-Operator i​st linear, d​as heißt, e​s gilt

${\displaystyle \Delta _{a^{1}}^{a^{2}}(F+G)=\Delta _{a^{1}}^{a^{2}}F+\Delta _{a^{1}}^{a^{2}}G}$

Des Weiteren ist

${\displaystyle \Delta _{a^{1}}^{a^{2}}F=\sum _{i_{1}=1}^{2}(-1)^{i_{1}}\cdot \sum _{i_{2}=1}^{2}(-1)^{i_{2}}\cdot \dots \cdot \sum _{i_{n}=1}^{2}(-1)^{i_{n}}F(a_{1}^{i_{1}},\dots ,a_{n}^{i_{n}})={}_{1}\Delta _{a_{1}^{1}}^{a_{1}^{2}}\cdots {}_{n}\Delta _{a_{n}^{1}}^{a_{n}^{2}}F}$

Außerdem gilt für ${\displaystyle \mu \neq \nu }$

${\displaystyle {}_{\mu }\Delta _{\alpha }^{\beta }{}_{\nu }\Delta _{\alpha }^{\beta }F={}_{\nu }\Delta _{\alpha }^{\beta }{}_{\mu }\Delta _{\alpha }^{\beta }F}$

Die Differenzbildung d​er Komponenten i​st also vertauschbar.

Verwendung

Mittels des Differenzoperators lässt sich beispielsweise die Monotonie einer Funktion verallgemeinern: Eine Funktion ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ heißt dann rechtecksmonoton, wenn

${\displaystyle a\leq b\implies \Delta _{a}^{b}F\geq 0}$

gilt. Dabei ist ${\displaystyle a\leq b}$ komponentenweise zu verstehen, also ${\displaystyle a\leq b\iff a_{i}\leq b_{i}}$ für alle Indizes. Darauf aufbauend lassen sich solche Funktionen dann weiter untersuchen.

Außerdem werden Differenzoperatoren in der Maßtheorie und der Stochastik zur Definition von Maßen auf dem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mittels multivariater Verteilungsfunktionen verwendet.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, S. 65–72, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.