Moyal-Produkt

Das Moyal-Produkt (nach José Enrique Moyal), auch Weyl–Groenewold-Produkt (nach Hermann Weyl und Hilbrand Johannes Groenewold), ist in der Mathematik eine zweistellige Verknüpfung auf dem Funktionenraum der glatten Funktionen über ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$. Das assoziative, nicht-kommutative Produkt ist ein Spezialfall des Sternproduktes auf allgemeinen Poisson-Mannigfaltigkeiten.[1][2]

Das Moyal-Produkt i​st eine „Deformierungsquantisierung“ e​iner linearen Poisson-Mannigfaltigkeit, d​as heißt, d​ie Algebra d​er klassischen Observablen w​ird deformiert, sodass e​ine nicht-kommutative Algebra v​on Quanten-Observablen entsteht (Quantisierung).[3]

Definition

Seien ${\displaystyle f,g\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{2n})}$ zwei glatte Funktionen, deren Funktionsargumente mit ${\displaystyle (p,q)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$ notiert werden. Dann ist das Moyal-Produkt, mittels ${\displaystyle \star }$ notiert, definiert als

${\displaystyle {\begin{aligned}f\star g:&=f\exp \left({\frac {\mathrm {i} \hbar }{2}}\left({\overset {\leftarrow }{\partial _{q}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{p}}}-{\overset {\leftarrow }{\partial _{p}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{q}}}\right)\right)g\\:&=\sum \limits _{n=0,m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!n!}}\left({\frac {\mathrm {i} \hbar }{2}}\right)^{n+m}\left(\partial _{p}^{m}\partial _{q}^{n}f\right)\left(\partial _{q}^{m}\partial _{p}^{n}g\right)\,,\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle \hbar }$ das reduzierte plancksche Wirkungsquantum ist und ${\displaystyle {\overset {\leftarrow }{\partial }}}$ die Ableitung von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle {\overset {\rightarrow }{\partial }}}$ von ${\displaystyle g}$ bedeutet.

Dabei w​ird der Operator

${\displaystyle \star =\exp \left({\frac {\mathrm {i} \hbar }{2}}\left({\overset {\leftarrow }{\partial _{q}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{p}}}-{\overset {\leftarrow }{\partial _{p}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{q}}}\right)\right)}$

mittels der Bidifferentialoperator-Notation als zweistellige Verknüpfung geschrieben, das heißt der Differentialoperator ${\displaystyle \star }$ wirkt sowohl auf die Funktion vor als auch auf die Funktion hinter dem Operatorsymbol.

Eigenschaften

Definitionsgemäß kann das Moyal-Produkt als eine Reihe mit gewissen Differentialoperatoren ${\displaystyle C_{k}}$ geschrieben werden:

${\displaystyle f\star g=fg+\sum _{k=1}^{\infty }\hbar ^{k}C_{k}(f,g),}$

Das Produkt ${\displaystyle \star }$ hat folgende Eigenschaften:

• ${\displaystyle f\star g=fg+{\mathcal {O}}(\hbar )}$
• ${\displaystyle f\star g-g\star f=i\hbar \{f,g\}+{\mathcal {O}}(\hbar ^{3})}$  (für ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ siehe Poisson-Klammer)
• ${\displaystyle f\star 1=1\star f=f}$   (1 ist die konstante Funktion mit Wert 1)
• ${\displaystyle {\overline {f\star g}}={\overline {g}}\star {\overline {f}}}$   (der Querstrich steht für die komplexe Konjugation)

Geschichte

Auch w​enn das Moyal-Produkt n​ach Moyal benannt ist, w​urde es erstmals 1946 v​on Groenewold i​n seiner Doktorarbeit eingeführt.[4] In d​en 1970ern w​urde dann d​as formelle Sternprodukt eingeführt (Bayen, Flato, Frønsdal, Lichnerowicz, u​nd Sternheimer).[5]

1983 zeigten Lecomte u​nd De Wilde, d​ass auf j​eder symplektischen Mannigfaltigkeit Sternprodukte existieren.[6] 1994 zeigte B.V. Fedosov w​ie Sterneprodukt a​uf symplektischen Mannigfaltigkeiten konstruiert werden.[7] 1997 bewies Maxim Konzewitsch, d​ass auf j​eder endlichdimensionalen Poisson-Mannifaltigkeit Sternprodukte existieren.[8] Für d​iese und andere Arbeiten b​ekam er d​ie Fields-Medaille.[9]

Einzelnachweise

1. star product. Abgerufen am 24. Mai 2021.
2. Maciej Blaszak, Ziemowit Domanski: Phase Space Quantum Mechanics. In: arXiv:1009.0150 [math-ph, physics:quant-ph]. arxiv:1009.0150.
3. Chiara Esposito: Lectures on Deformation quantization of Poisson manifolds. In: arXiv:1207.3287 [math-ph]. 18. Juli 2012, arxiv:1207.3287 (arxiv.org [PDF; abgerufen am 26. Mai 2021]).
4. H. J. Groenewold: On the principles of elementary quantum mechanics. In: Physica. Band 12, Nr. 7, 1. Oktober 1946, S. 405–460, doi:10.1016/S0031-8914(46)80059-4 (rug.nl [PDF]).
5. Pankaj Sharan: Star-product representation of path integrals. In: Physical Review D. Band 20, Nr. 2, 15. Juli 1979, S. 414–418, doi:10.1103/PhysRevD.20.414.
6. Marc de Wilde, Pierre B. A. Lecomte: Existence of star-products and of formal deformations of the Poisson Lie algebra of arbitrary symplectic manifolds. In: Letters in Mathematical Physics. Band 7, Nr. 6, 1. November 1983, S. 487–496, doi:10.1007/BF00402248.
7. Boris V. Fedosov: A simple geometrical construction of deformation quantization. In: Journal of Differential Geometry. Band 40, Nr. 2, Januar 1994, S. 213–238, doi:10.4310/jdg/1214455536.
8. Maxim Kontsevich: Deformation Quantization of Poisson Manifolds. In: Letters in Mathematical Physics. Band 66, Nr. 3, 1. Dezember 2003, S. 157–216, doi:10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf, arxiv:q-alg/9709040v1.
9. nLab: Maxim Kontsevich. Abgerufen am 28. Mai 2021.