Modell für beschleunigte Ausfallzeiten

In d​er Medizinstatistik u​nd dort insbesondere i​n der Überlebenszeitanalyse i​st das Modell für beschleunigte Ausfallzeiten,[1] a​uch Modell d​er beschleunigten Überlebenszeiten[2] genannt e​in parametrisches Modell, d​as durch logarithmische Transformation linearisiert werden k​ann und e​ine Alternative z​um häufig verwendeten proportionalen Hazardmodell darstellt.

Einführung in die Problemstellung

Es wird oft behauptet, dass ein Hundejahr sieben Menschenjahren entspricht. Seien ${\displaystyle S_{M}(t)}$ und ${\displaystyle S_{H}(t)}$ die Überlebensfunktionen für Menschen (M) und Hunde (H), und sei weiterhin angenommen, dass Hunde etwa 7-mal schneller altern als Menschen, dann gilt[3]

${\displaystyle S_{H}(t)=S_{M}(7t)}$.

Dabei wird der Faktor ${\displaystyle \gamma =7}$ als Beschleunigungfaktor bezeichnet. Im Allgemeinen gilt

${\displaystyle S_{1}(t)=S_{2}(\gamma t)}$ bzw. ${\displaystyle \gamma T_{1}=T_{2}}$.

Hierbei bedeutet ${\displaystyle \gamma >1}$ einen Vorteil und ${\displaystyle \gamma <1}$ einen Nachteil bzgl. der Lebensdauer.

Modelldarstellungen

Sei ${\displaystyle T}$ die Zeit bis zum Eintritt eines Ereignisses (z. B. der Tod) und sei ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ein Vektor von zeitkonstanten erklärenden Variablen. Das Modell der beschleunigten Überlebenszeiten besagt, dass die Überlebensfunktion eines Individuums mit dem Vektor der erklärenden Variablen ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ dieselbe ist wie die Überlebensfunktion eines Individuums mit einer Basisüberlebensfunktion zum Zeitpunkt ${\displaystyle t\cdot \exp({\boldsymbol {\theta }}^{\top }\mathbf {Z} )}$, wobei ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}^{\top }=(\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{k})}$ ein Vektor von Regressionsparametern ist. Anders ausgedrückt ist das Modell der beschleunigten (verzögerten) Überlebenszeiten gegeben durch die Beziehung[4]

${\displaystyle S(t\mid \mathbf {Z} )=S_{0}(\exp({\boldsymbol {\theta }}^{\top }\mathbf {Z} )t),\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;} {\text{alle}}\;t}$.

Der Faktor ${\displaystyle \exp({\boldsymbol {\theta }}^{\top }\mathbf {Z} )}$ wird Beschleunigungfaktor genannt und gibt dem Anwender Auskunft darüber, wie eine Änderung in der erklärenden Variablen die Zeitskala in Bezug zur Basiszeitskala ändert. Eine Implikation dieses Modells ist, dass die Hazardrate für eine Person mit dem Vektor der erklärenden Variablen ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ mit einer Hazardrate in Beziehung zur Basis-Hazardrate steht durch

${\displaystyle h(t\mid \mathbf {Z} )=\exp({\boldsymbol {\theta }}^{\top }\mathbf {Z} )h_{0}(\exp({\boldsymbol {\theta }}^{\top }\mathbf {Z} )t),\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;} {\text{alle}}\;t}$.

Eine weitere Implikation ist, dass die mediane Überlebenszeit mit dem Vektor der erklärenden Variablen ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ gleich der medianen Basis-Überlebenszeit dividiert durch den Beschleunigungfaktor ist.

Die zweite Darstellung d​er Beziehung zwischen d​en Werten d​er erklärenden Variablen u​nd Überlebenszeit i​st die lineare Beziehung zwischen d​er logarithmischen Überlebenszeit u​nd den Werten d​er erklärenden Variablen. Hier g​eht man v​on dem folgenden loglinearen Ansatz aus:

${\displaystyle Y=\log(T)={\boldsymbol {\mu }}+{\boldsymbol {\gamma }}^{\top }\mathbf {Z} +\sigma W}$,

wobei ${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}^{\top }=(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{k})}$ ein Vektor von Regressionsparametern ist und ${\displaystyle W}$ die Verteilung der Störgröße darstellt.

Einzelnachweise

1. International Statistical Institute: Glossary of statistical terms.
2. Lothar Sachs, Jürgen Hedderich: Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-56657-2, S. 900
3. Lothar Sachs, Jürgen Hedderich: Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-56657-2, S. 899
4. Dietz, K., et al.: Statistics for Biology and Health. Survival Analysis, Edition Springer 7 (2002), S. 394