Mathieusche Differentialgleichung

Als Mathieusche Differentialgleichung w​ird eine spezielle lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung bezeichnet. Die DGL i​st nach d​em Mathematiker Émile Léonard Mathieu benannt u​nd ist e​in Spezialfall d​er Hillschen Differentialgleichung m​it der Parameterfunktion

${\displaystyle q(x)=q_{o}+\Delta q\cdot \cos(x)}$

Lösungen d​er Mathieuschen Differentialgleichung – m​eist in Normalform bzw. d​er unten angegebenen alternativen Darstellung – werden a​ls Mathieu-Funktionen bezeichnet.

Normalform

Die Gleichung w​ird in d​er Literatur i​n unterschiedlicher Form dargestellt. Eine a​ls Normalform bezeichnete Gleichung[1] h​at die Gestalt

${\displaystyle y''(x)+[\lambda +\gamma \cos(x)]\cdot y(x)=0.}$

Ist ${\displaystyle x}$ eine Funktion der Zeit

${\displaystyle x\;{\stackrel {!}{=}}\;x(t)=\Omega \cdot t}$

so stehen die Abkürzungen ${\displaystyle \lambda }$ und ${\displaystyle \gamma }$ für

${\displaystyle \lambda =q_{0}/\Omega ^{2}\;;\;\gamma =\Delta q/\Omega ^{2}}$

Alternative Darstellung

Die DGL w​ird unter anderem a​uch folgendermaßen angegeben[2][3]

${\displaystyle \ y''(x)+[a-2q\cos(2x)]\cdot y(x)=0}$

oder

${\displaystyle \ {\ddot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\Omega t)]\cdot x(t)=0.}$

Lösungseigenschaften

Die Mathieusche Differentialgleichung lässt s​ich als lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung m​it zwei Gleichungen darstellen:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\\lambda +\gamma \cos(x)&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u(x)\\v(x)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u(x)\\v(x)\\\end{pmatrix}}'}$

Die Koeffizientenmatrix ist hier ${\displaystyle 2\pi }$-periodisch. Nach dem Satz von Floquet lässt sich die Fundamentalmatrix beschreiben als

${\displaystyle \Phi (x)=P(x)\exp(xR)}$

Dabei ist ${\displaystyle R\in \mathbb {C} ^{2\times 2}}$ und ${\displaystyle P:\mathbb {R} \rightarrow GL(m;\mathbb {C} )}$ ebenfalls ${\displaystyle 2\pi }$-periodisch. Durch die Berechnung der jordanschen Normalform der Matrix ${\displaystyle R}$ ergeben sich zwei Fälle:

1. ${\displaystyle R}$ hat zwei verschiedene (komplexe) Eigenwerte ${\displaystyle \gamma _{1}\neq \gamma _{2}}$: In diesem Fall sind die Lösungen von der Form ${\displaystyle e^{\gamma _{1}x}\phi _{1}(x)}$ und ${\displaystyle e^{\gamma _{2}x}\phi _{2}(x)}$, wobei ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}}$ jeweils ${\displaystyle 2\pi }$-periodisch sind.
2. ${\displaystyle R}$ hat einen einzigen Eigenwert ${\displaystyle \gamma }$: Hier sind die Lösungen von der Gestalt ${\displaystyle e^{\gamma x}\phi (x)}$ und ${\displaystyle xe^{\gamma x}\phi (x)}$ mit einer ${\displaystyle 2\pi }$-periodischen Funktion ${\displaystyle \phi }$.

Siehe auch

• Parametrischer Oszillator
• Paul-Falle
• Quadrupol-Massenspektrometer

Einzelnachweise

1. Kurt Magnus: Schwingungen: Eine Einführung in die physikalischen Grundlagen und die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen. 8., überarb. Auflage, Vieweg+Teubner, 2008, Kapitel 4, ISBN 3-8351-0193-5.
2. NIST Digital Library of Mathematical Functions: Mathieu Functions and Hill’s Equation (englisch)
3. Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme. Springer, 2008, Kapitel 11.7, ISBN 3-540-79294-5.

Weblinks

• List of equations and identities for Mathieu Functions functions.wolfram.com (englisch)
• E. Mathieu: Mémoire sur Le Mouvement Vibratoire d’une Membrane de forme Elliptique. In: Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1868, S. 137–203.
• Mathieu’sche Differentialgleichung in der Zustandsdarstellung Code (Octave) zur numerischen Berechnung eines Anfangswertproblems