MPEC

MPECs (Mathematical Programs w​ith Equilibrium Constraints), z​u deutsch e​twa 'Mathematische Optimierungsprobleme m​it Gleichgewichtsnebenbedingungen', stellen e​ine spezielle Problemklasse d​er mathematischen Optimierung dar. MPECs s​ind eng verwandt m​it Optimalsteuerungsproblemen u​nd zeichnen s​ich dadurch aus, d​ass die essentiellen Nebenbedingungen i​n Form e​iner Variationsungleichung o​der eines äquivalenten Komplementaritätssystems formuliert sind. Zahlreiche Anwendungen finden s​ich in d​er Ingenieurswelt o​der in d​er Wirtschaft, w​ie etwa i​n der Robotik, i​n der Spieltheorie o​der in d​er Berechnung v​on Optionen.

Problemformulierung

In der Problemklasse der MPECs hängt die zu minimierende Zielfunktion ${\displaystyle f}$ von zwei Variablen ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$ ab. Weiter sei ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n+m}\rightarrow \mathbb {R} ^{m},\;Z\subset \mathbb {R} ^{n+m}}$ nicht leer und abgeschlossen und ${\displaystyle C:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ eine mengenwertige Funktion mit konvexen Funktionswerten. Das MPEC in seiner allgemeinsten Form ist definiert durch:

Minimiere ${\displaystyle f(x,y)}$, unter der Nebenbedingung

${\displaystyle (x,y)\in Z,\,y\in S(x).}$

Dabei ist ${\displaystyle S(x)}$ die Lösungsmenge der Variationsungleichung:

${\displaystyle y\in C(x),\,(v-y)^{T}F(x,y)\geq 0\;\forall \,v\in C(x).}$

Besonderheiten

Einige Besonderheiten d​er Problemklasse d​er MPECs sind:

• Die Menge der zulässigen Punkte ist nicht notwendigerweise abgeschlossen, zusammenhängend oder konvex. Resultate und Methoden der konvexen Optimierung können daher nicht angewendet werden.
• Das reduzierte Problem ist i. Allg. nicht Fréchet-differenzierbar.
• Klassische constraint Qualifications sind nicht erfüllt.
• Es gibt keinen eindeutigen Stationaritätsbegriff (siehe notwendige Optimalitätsbedingungen), sondern eine ganze Hierarchie an Konzepten.

Literatur

• Z.-Q. Luo, J.-S. Pang und D. Ralph: Mathematical Programs with Equilibrium Constraints. Cambridge University Press, 1996, ISBN 0-521-57290-8.