Lojasiewicz-Ungleichung

Die Łojasiewicz-Ungleichung (in deutschsprachiger Literatur meist: Lojasiewicz-Ungleichung; n​ach Stanisław Łojasiewicz) i​st eine Ungleichung d​er mathematischen Analysis, d​ie vor a​llem in d​er reellen algebraischen Geometrie Anwendung findet.

Anschaulich besagt sie, dass für eine analytische Funktion ${\displaystyle f}$ der Abstand eines Punktes ${\displaystyle x}$ von der Nullstellenmenge ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ der Funktion ${\displaystyle f}$ in Abhängigkeit vom Funktionswert ${\displaystyle f(x)}$ in diesem Punkt abgeschätzt werden kann. Diese Interpretation ist allerdings mit Vorsicht zu betrachten, weil die in der Ungleichung vorkommenden Konstanten von der Funktion ${\displaystyle f}$ abhängen und es je nach Wahl einer Funktion ${\displaystyle f}$ natürlich auch in größerer Entfernung von der Nullstellenmenge kleine Funktionswerte geben kann.

Allgemeine Formulierung

Sei ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ kompakt und seien ${\displaystyle f,g\colon K\to \mathbb {R} }$ (auf einer offenen Umgebung von ${\displaystyle K}$ definierte) analytische Funktionen mit ${\displaystyle f^{-1}(0)\subset g^{-1}(0)}$. Dann gibt es Konstanten ${\displaystyle c,\alpha >0}$, so dass für alle ${\displaystyle x\in K}$ die Ungleichung

${\displaystyle |f(x)|\geq c|g(x)|^{\alpha }}$

gilt.

Abstand zur Nullstellenmenge

Die allgemeine Formulierung lässt sich insbesondere auf ${\displaystyle g(x)=d(x,f^{-1}(0))}$ anwenden, denn für diese Funktion ist ${\displaystyle g^{-1}(0)=f^{-1}(0)}$. Man erhält das folgende Korollar.

Für jede auf einer offenen Umgebung einer kompakten Menge ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ analytische Funktion ${\displaystyle f\colon K\to \mathbb {R} }$ gibt es Konstanten ${\displaystyle c,\alpha >0}$, so dass für alle ${\displaystyle x\in K}$ die Ungleichung

${\displaystyle |f(x)|\geq cd(x,f^{-1}(0))^{\alpha }}$

gilt.

Literatur

• Edward Bierstone, Pierre Milman: Semianalytic and subanalytic sets. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 67 (1988), 5–42.