Lobatschewski-Funktion

Die Lobatschewski-Funktion (engl.: Lobachevsky function) i​st eine e​ng mit d​er Clausen-Funktion u​nd dem Dilogarithmus zusammenhängende spezielle Funktion d​er Mathematik. Die Bezeichnung g​eht auf John Milnor zurück, Lobatschewski h​atte ähnliche Funktionen z​ur Berechnung hyperbolischer Volumina verwendet.

Definition

Graph der Lobatschewski-Funktion, gezeigt wird die bei 500 abgebrochene Reihe (für die Darstellung ausreichende Genauigkeit).

Die Lobatschewski-Funktion i​st definiert a​ls Integral

${\displaystyle \Lambda (\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log \mid 2\sin u\mid du}$

Eigenschaften

Die Lobatschewski-Funktion ist stetig, periodisch mit Periode ${\displaystyle \pi }$ und eine ungerade Funktion. Sie hat eine gleichmäßig konvergierende Fourier-Reihe

${\displaystyle \Lambda (\theta )={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }\sin(2n\theta )/n^{2}}$.

Ihre Ableitungen sind

${\displaystyle \Lambda ^{\prime }(\theta )=-\log \mid 2\sin \theta \mid ,\Lambda ^{\prime \prime }(\theta )=-\cot \theta }$.

Man h​at die Funktionalgleichung

${\displaystyle \Lambda (n\theta )=\sum _{j\ mod\ n}n\Lambda (\theta +j\pi /n)}$

für alle ganzen Zahlen ${\displaystyle n\not =0}$.

Für ${\displaystyle 0<\theta <\pi }$ gilt

${\displaystyle Li_{2}(e^{i\theta })=Li_{2}(1)+\theta (\pi -\theta )+2i\Lambda (\theta )}$,

${\displaystyle 2\Lambda (\theta )}$ ist also der imaginärteil des (klassischen) Dilogarithmus von ${\displaystyle e^{i\theta }}$. Der Zusammenhang mit dem Bloch-Wigner-Dilogarithmus ergibt sich durch die Gleichung

${\displaystyle D(e^{i\theta })=2\Lambda ({\frac {\theta }{2}})}$.

Volumen hyperbolischer Simplizes

Ein ideales Simplex im 3-dimensionalen hyperbolischen Raum wird durch seine sechs Kantenwinkel bestimmt, wobei gegenüberliegende Winkel gleich groß sind und die drei nicht gegenüberliegenden Winkel ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ die Gleichung ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\pi }$ erfüllen. Das Volumen des idealen Simplex ${\displaystyle T_{\alpha ,\beta ,\gamma }}$ kann mittels der Lobatschewski-Funktion berechnet werden:

${\displaystyle Vol(T_{\alpha ,\beta ,\gamma })=\Lambda (\alpha )+\Lambda (\beta )+\Lambda (\gamma )}$.

Mit Hilfe dieser Formel ergeben s​ich zahlreiche andere d​ie Lobatschewski-Funktion verwendende Formeln für Volumina hyperbolischer Polyeder.

Literatur

• John Milnor: Hyperbolic geometry: the first 150 years. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 6 (1982), no. 1, 9–24. online
• J. G. Ratcliffe, Foundations of hyperbolic manifolds (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 149, Springer, 2006.