Littlewood-Paley-Theorie

Die Littlewood-Paley-Theorie beschreibt in der harmonischen Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, das Erweitern von gewissen Resultaten über ${\displaystyle L^{2}}$-Funktionen auf ${\displaystyle L^{p}}$-Funktionen für ${\displaystyle 1<p<\infty }$. Sie wird normalerweise als Ersatz für Orthogonalitätsargumente verwendet, die für ${\displaystyle L^{p}}$-Funktionen nur gelten, wenn ${\displaystyle p=2}$ ist. Eine Implementierung besteht darin, eine Funktion zu untersuchen, indem sie in Funktionen mit lokalisierten Frequenzen zerlegt wird, und die Littlewood-Paley-${\displaystyle g}$-Funktion zu verwenden, um sie mit ihrem Poisson-Integral zu vergleichen. Der 1-Variablen-Fall wurde von J. E. Littlewood und R. Paley[1][2][3] entwickelt und von den polnischen Mathematikern A. Zygmund und J. Marcinkiewicz in den 1930er Jahren unter Verwendung der Theorie komplexer Funktionen weiterentwickelt.[4] E. M. Stein erweiterte die Theorie später auf höhere Dimensionen unter Verwendung von Techniken für reelle Variablen.

Die dyadische Zerlegung einer Funktion

Die Littlewood-Paley-Theorie verwendet eine Zerlegung einer Funktion ${\displaystyle f}$ in eine Summe von Funktionen ${\displaystyle f_{\rho }}$ mit lokalisierten Frequenzen. Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine solche Zerlegung zu konstruieren; eine typische Methode ist die folgende.

Wenn ${\displaystyle f}$ eine Funktion auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist und ${\displaystyle \rho }$ eine messbare Menge (im Frequenzraum) mit charakteristischer Funktion ${\displaystyle \chi _{\rho }(\xi )}$ ist, dann ist ${\displaystyle f_{\rho }}$ über seine Fouriertransformation definiert:

${\displaystyle {\hat {f}}_{\rho }:=\chi _{\rho }{\hat {f}}}$

Heuristisch gesehen, ist ${\displaystyle f_{\rho }}$ der Teil von ${\displaystyle f}$, dessen Häufigkeiten in ${\displaystyle \rho }$ liegen.

Wenn ${\displaystyle \Delta }$ eine Sammlung von messbaren Mengen ist, die (bis zum Maß 0) disjunkt sind und eine Vereinigung auf der reellen Linie haben, dann kann eine wohlbehaltene Funktion ${\displaystyle f}$ als eine Summe von Funktionen ${\displaystyle f_{\rho }}$ für ${\displaystyle \rho \in \Delta }$ geschrieben werden.

Wenn ${\displaystyle \Delta }$ aus den Mengen der Form

${\displaystyle \rho =[-2^{k+1},-2^{k}]\cup [2^{k},2^{k+1}].}$

für ${\displaystyle k}$ eine ganze Zahl, ergibt dies eine sogenannte „dyadische Zerlegung“ ${\displaystyle \textstyle f=\sum _{\rho }f_{\rho }}$.

Es gibt viele Variationen dieser Konstruktion; zum Beispiel kann die charakteristische Funktion einer Menge, die in der Definition von ${\displaystyle f_{\rho }}$ verwendet wird, durch eine glattere Funktion ersetzt werden.

Eine wichtige Anwendung der Littlewood-Paley-Theorie ist das Littlewood-Paley-Theorem, das die Größe der Funktionen ${\displaystyle f_{\rho }}$ in Abhängigkeit der Größe von ${\displaystyle f}$ begrenzt. Es gibt viele Versionen dieses Theorems, die den verschiedenen Möglichkeiten der Zerlegung von ${\displaystyle f}$ entsprechen. Eine typische Abschätzung ist die Begrenzung der ${\displaystyle L^{p}}$-Norm von ${\displaystyle \textstyle (\sum _{\rho }|f_{\rho }|^{2})^{1/2}}$ durch ein Vielfaches der ${\displaystyle L^{p}}$-Norm von ${\displaystyle f}$.

In höheren Dimensionen i​st es möglich, d​iese Konstruktion z​u verallgemeinern, i​ndem man Intervalle d​urch Rechtecke m​it zu d​en Koordinatenachsen parallelen Seiten ersetzt. Leider handelt e​s sich d​abei um r​echt spezielle Mengen, w​as die Anwendungen a​uf höhere Dimensionen beschränkt.

Die Littlewood–Paley-${\displaystyle g}$-Funktion

Die ${\displaystyle g}$-Funktion ist ein nichtlinearer Operator auf ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$, der zur Kontrolle der ${\displaystyle L^{p}}$-Norm einer Funktion ${\displaystyle f}$ in Form ihres Poisson-Integrals verwendet werden kann. Das Poisson-Integral ${\displaystyle u(x,y)}$ von ${\displaystyle f}$ ist für ${\displaystyle y>0}$ definiert durch

${\displaystyle u(x,y)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}P_{y}(t)f(x-t)\,dt}$,

wobei der Poisson-Kern in der oberen Hälfte ${\displaystyle \{(y;x)\in \mathbf {R} ^{n+1}\mid y>0\}}$ durch

${\displaystyle P_{y}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi it\cdot x-2\pi |t|y}\,dt={\frac {\Gamma ((n+1)/2)}{\pi ^{(n+1)/2}}}{\frac {y}{(|x|^{2}+y^{2})^{(n+1)/2}}}.}$

gegeben ist. Die Littlewood–Paley-${\displaystyle g}$-Funktion ${\displaystyle g(f)}$ ist definiert durch

${\displaystyle g(f)(x)=\left(\int _{0}^{\infty }|\nabla u(x,y)|^{2}y\,dy\right)^{1/2}.}$

Eine grundlegende Eigenschaft von ${\displaystyle g}$ ist, dass es die Normen annähernd bewahrt. Genauer gesagt, für ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ist das Verhältnis der ${\displaystyle L^{p}}$-Normen von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g(f)}$ nach oben und unten durch feste positive Konstanten begrenzt, die von ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle p}$, aber nicht von ${\displaystyle f}$ abhängen.

Anwendungen

Eine frühe Anwendung der Littlewood-Paley-Theorie war der Beweis, dass die Folge ${\displaystyle S_{n_{j}}}$ fast überall konvergiert, wenn ${\displaystyle S_{n}}$ die Partialsummen der Fourier-Reihen einer periodischen ${\displaystyle L^{p}}$-Funktion (${\displaystyle p>1}$) sind und ${\displaystyle n_{j}}$ eine Folge ist, die ${\displaystyle n_{j+1}/n_{j}>q}$ für ein festes ${\displaystyle q>1}$ erfüllt. Dies wurde später durch das Carleson-Hunt-Theorem verbessert, das zeigt, dass ${\displaystyle S_{n}}$ selbst fast überall konvergiert.

Die Littlewood-Paley-Theorie k​ann auch z​um Beweis d​es Multiplikatorsatzes v​on Marcinkiewicz verwendet werden.

Literatur

• Coifman, R. R.; Weiss, Guido (1978), "Book Review: Littlewood-Paley and multiplier theory", Bulletin of the American Mathematical Society, 84 (2): 242–250, doi:10.1090/S0002-9904-1978-14464-4, ISSN 0002-9904, MR 1567040
• Edwards, R. E.; Gaudry, G. I. (1977), Littlewood-Paley and multiplier theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-07726-8, MR 0618663

• Frazier, Michael; Jawerth, Björn; Weiss, Guido (1991), Littlewood-Paley theory and the study of function spaces, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 79, Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC, doi:10.1090/cbms/079, ISBN 978-0-8218-0731-6, MR 1107300
• Stein, Elias M. (1970), Topics in harmonic analysis related to the Littlewood-Paley theory., Annals of Mathematics Studies, No. 63, Princeton University Press, MR 0252961
• Zygmund, A. (2002) [1935], Trigonometric series. Vol. I, II, Cambridge Mathematical Library (3rd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-89053-3, MR 1963498

Einzelnachweise

1. Littlewood, J. E.; Paley, R. E. A. C. (1931), "Theorems on Fourier Series and Power Series", J. London Math. Soc., 6 (3): 230–233, doi:10.1112/jlms/s1-6.3.230''
2. Littlewood, J. E.; Paley, R. E. A. C. (1937), "Theorems on Fourier Series and Power Series (II)", Proc. London Math. Soc., 42 (1): 52–89, doi:10.1112/plms/s2-42.1.52''
3. Littlewood, J. E.; Paley, R. E. A. C. (1938), "Theorems on Fourier Series and Power Series (III)", Proc. London Math. Soc., 43 (2): 105–126, doi:10.1112/plms/s2-43.2.105''
4. Zygmund, A. (2002) [1935], Trigonometric series. Vol. I, II, Cambridge Mathematical Library (3rd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-89053-3, MR 1963498, Kapitel XIV, XV